Bij elke waarde van $x$ hoort precies één waarde van $y$.

$\text{f}\left(x\right)=\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+4x-6$

$\text{f}\left(3\right)=\text{-}\mathrm{0,5}\cdot 3^2+4\cdot 3-6=\mathrm{1,5}$ en $\text{f}\left(\text{-}3\right)=\text{-}\mathrm{0,5}\cdot {\left(\text{-}3\right)}^2+4\cdot \text{-}3-6=\text{-}\mathrm{22,5}$.

$\text{-}\mathrm{0,5}{x}^2+4x-6=0$ geeft $(x-2)(x-6)=0$ en dus $x=2\vee x=6$.

De wortel heeft alleen reële uitkomsten als $x+1\ge 0$, dus als $x\ge \text{-}1$.

Het domein van de functie is ${\text{D}}_{\text{g}}=[\text{-}1,\to \rangle$.

$\text{g}\left(0\right)=4-\sqrt{1}=3$, dus het snijpunt met de $y$-as is $(0,3)$.

$\text{g}\left(x\right)=4-\sqrt{x+1}=0$ geeft $\sqrt{x+1}=4$ en dus $x=15$. Het snijpunt met de $x$-as is $(15,0)$.

Maak een tabel met voor $x$ de waarden $\text{-}1$, $0$, $1$, $2$, .... (Je kunt in plaats daarvan ook werken met transformaties vanuit de standaard wortelfunctie.)

Je ziet dan dat het startpunt $(\text{-}1,4)$ het hoogste punt van de grafiek is die verder langzaam daalt.

Het bereik is ${\text{B}}_{\text{g}}=\langle \leftarrow ,4]$.

Door $0$ delen kan niet, dus $x=2$ heeft geen functiewaarde.

Het domein van de functie is ${\text{D}}_{\text{h}}=\langle \leftarrow ,2\rangle \cup \langle 2,\to \rangle$.

$\text{h}\left(0\right)=\frac{4}{\text{-}}+3=1$, dus het snijpunt met de $y$-as is $(0,1)$.

$\text{h}\left(x\right)=\frac{4}{x-2}+3=0$ geeft $\frac{4}{x-2}=\text{-}3$ en dus $x-2=\frac{4}{3}$ zodat $x=\frac{10}{3}$. Het snijpunt met de $x$-as is $(\frac{10}{3},0)$.

Eerst $2$ verschuiven in de $x$-richting.

Vervolgens vermenigvuldigen met $4$ in de $y$-richting.

Tenslotte $3$ verschuiven in de $y$-richting.

De horizontale asymptoot wordt $y=3$ en die functiewaarde wordt al enige nooit aangenomen.

Het bereik van de functie is ${\text{B}}_{\text{h}}=\langle \leftarrow ,3\rangle \cup \langle 3,\to \rangle$.

Maak een grafiek bij deze tabel.

$x$	$\text{-}3$	$\text{-}2$	$\text{-}1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$\text{f}\left(x\right)$	$12$	$\text{-}2$	$\text{-}4$	$0$	$4$	$2$	$\text{-}12$
$\text{g}\left(x\right)$	$\text{-}6$	$\text{-}4$	$\text{-}2$	$0$	$2$	$4$	$6$

$\text{-}\mathrm{}{x}^3+5x=2x$ geeft $x^3-3x=x(x^2-3)=0$ en dus $x=0\vee x=\pm \sqrt{3}$.

Uit de grafiek lees je nu de oplossing van de ongelijkheid af: $\text{-}\mathrm{}\sqrt{3}<x<0\vee x>\sqrt{3}$.

Een kwadratische functie heeft een positief maximum als de grafiek een bergparabool is met twee snijpunten met de $x$-as. Dus moet $p<0$ en $D>0$.

$D>0$ betekent $16-4p^2>0$ en dus $-2<p<2$. Omdat ook $p<0$ geldt `text(-)2 lt p lt 0` .

$p{x}^2-4x+p=2x$ moet dan één oplossing hebben.

Dus moet voor $p{x}^2-6x+p=0$ gelden $D=36-4p^2=0$. Dat is het geval als $p=\pm 3$.

$B\left(140\right)=5$ euro.

Van $90$ tot en met $120$ minuten.

Doen. Het wordt een trapgrafiek.

Bij elke waarde van $t$ hoort precies één waarde van $B$, maar het omgekeerde geldt niet.

Kwadraat afsplitsen: $\text{g}\left(x\right)=\text{-}\mathrm{}{(x-3)}^2+6$.

Hieruit vind je meteen de top $T(3,6)$.
Voor de nulpunten moet je oplossen $\text{-}\mathrm{}{(x-3)}^2+6=0$ en dit geeft $x=3\pm \sqrt{6}$.
De nulpunten zijn $(3\pm \sqrt{6},0)$.

Teken beide grafieken, maak eerst een geschikte tabel.

${\text{D}}_{\text{g}}=ℝ$ en ${\text{B}}_{\text{g}}=\langle \leftarrow ,6]$.

$\text{-}\mathrm{}{x}^2+6x-3=7-x$ geeft $x^2-7x+10=0$ en dus $x=2\vee x=5$.

Uit de grafiek lees je de oplossing van de ongelijkheid af: `2 lt x lt 5` .

$y\left(0\right)=6$ dus het snijpunt met de $y$-as is $(0,6)$.

$y\left(x\right)=6-\mathrm{0,5}{x}^4=0$ geeft $x^4=12$ en dus $x=\pm \sqrt[4]{12}\approx \pm \mathrm{1,86}$.

De snijpunten met de $x$-as zijn ongeveer $(\pm \mathrm{1,86};0)$.

Eerst vermenigvuldigen met $\text{-}\mathrm{0,5}$ in de $y$-richting en dan $6$ verschuiven in de $y$-richting.

$6-\mathrm{0,5}{x}^4=\text{-}2$ geeft $x^4=16$ en dus $x=\pm \sqrt[4]{16}$.

Uit een schets van de grafiek lees je de oplossing van de ongelijkheid af: $\text{-}\mathrm{}\sqrt[4]{16}<x<\sqrt[4]{16}$.

Door hem $3$ in de $x$-richting te verschuiven.

Haakjes uitwerken geeft $\text{v}\left(x\right)=x^3-{(x-3)}^3=9x^2-27x+27$.

$\text{v}$ is een dalparabool en heeft een minimum voor $x=\frac{27}{18}=\mathrm{1,5}$ van $v\left(\mathrm{1,5}\right)=\mathrm{6,75}$.

$a\left(40\right)\approx 3572\cdot \sqrt{40}\approx 22591$ m, dus ongeveer $\mathrm{22,6}$ km.

$3572\cdot \sqrt{x}=20000$ geeft $h\approx \mathrm{31,3}$ m.

Die moet dan $9$ keer zo groot worden.

$h\left(t\right)=40t-\mathrm{4,9}{t}^2=0$ geeft $t=0\vee t=40/\mathrm{4,9}\approx \mathrm{8,2}$.
Dus na ongeveer $\mathrm{8,2}$ seconden.

De grafiek van $h$ is een bergparabool met top bij $t\approx \mathrm{4,1}$. Omdat $h\left(\mathrm{4,1}\right)\approx \mathrm{81,6}$ komt de vuurpijl maximaal $\mathrm{81,6}$ m hoog.

Het bereik van $h\left(t\right)$ is $[0;\mathrm{81,6}]$.

$40t-\mathrm{4,9}{t}^2=30$ geeft $\mathrm{4,9}{t}^2-40t+30=0$. Dit los je op met de abc-formule. Je vindt $t\approx \mathrm{0,84}\vee t\approx \mathrm{7,33}$. De vuurpijl is daarom $5-\mathrm{0,84}\approx \mathrm{4,2}$ seconden zichtbaar.

$D=4a^2-4a00$ geeft $a=0\vee a=1$.

$D>0$ als $a<0\vee a>1$.

$x^2-2ax+a=\text{-}6$ moet één oplossing voor $x$ hebben.

Dus voor $x^2-2ax+a+6=0$ moet gelden $D=4a^2-4(a+6)=0$. Dit geeft $a=\text{-}2\vee a=3$.

Hij heeft $100/10+3=13$ minuten per keer nodig.

Hij kan dus $60/13\approx \mathrm{4,6}$ keer storten. Dat is in de praktijk dus $4$ keer.

$k\left(a\right)=\frac{60}{\mathrm{0,1}a+3}$

Dan moet $10\le k<11$. Bij $k=10$ vind je (vergelijking oplossen) $a=30$. Bij $k=11$ vind je (vergelijking oplossen) $a\approx \mathrm{24,5}$. Dus $\mathrm{24,5}\le a\le 30$.

Als $a=0$ kan er $20$ keer per uur worden gelost. Dat is het maximum.

Omdat $a\ge 0$ is het domein van deze functie $[0,\mathrm{}\to \rangle$ en binnen dit domein heeft elke $a$-waarde een functiewaarde. Een verticale asymptoot kan dus niet.

De $a$-as is de horizontale asymptoot: voor hele grote waarden van $a$ nadert de grafiek deze as. En dat heeft ook betekenis: $k=\mathrm{0,1}$ betekent bijvoorbeeld dat bij de bijbehorende afstand er in het schip één keer per $10$ uur graan kan worden gestort. Niet erg praktisch natuurlijk, maar niet onmogelijk.

Nu is $c=\mathrm{0,90}$ en $t=\mathrm{0,4}$. Je vindt dan $R\left(100\right)\approx 55$ m.

$R\left(v\right)=\frac{v}{9}+\frac{v^2}{\mathrm{228,6}}\approx \mathrm{0,1111}v+\mathrm{0,0044}{v}^2$

Je moet nu oplossen $\mathrm{0,1111}v+\mathrm{0,0044}{v}^2=90$.
Dat doe je door op $0$ herleiden en de abc-formule te gebruiken. Je vindt $v\approx 131$ km/uur.

Bij 1 mm regen en oude banden hoort $c=\mathrm{0,55}$ en bij 2 mm regen hoort $c=\mathrm{0,45}$.
De remweg bij $c=\mathrm{0,55}$ is $\mathrm{30,77}$ m.
De remweg bij $c=\mathrm{0,45}$ is $\mathrm{36,50}$ m.
Dat is een toename van $\frac{\mathrm{36,50}-\mathrm{30,77}}{\mathrm{30,77}}\cdot 100\approx \mathrm{18,6}$%.