Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Driehoeken

123456Driehoeken

Uitleg

Als verschillende mensen de opdracht krijgen om een driehoek $A B C$ met $A B = 5$ cm, $B C = 6$ cm en $A C = 8$ cm te tekenen, krijgen ze allemaal dezelfde driehoek. Driehoeken waarvan de overeenkomstige zijden gelijk zijn, zijn dus congruent. Je zegt wel dat gelijke overeenkomstige zijden bij driehoeken een congruentiekenmerk is.

Er zijn meer van die congruentiekenmerken, bijvoorbeeld als twee driehoeken een hoek en de zijden op de benen van die hoek gelijk hebben zijn ze congruent.

Als verschillende mensen de opdracht krijgen om een driehoek $A B C$ te tekenen met $∠ A = 60 °$ en $∠ B = 40 °$ , krijgen ze niet altijd dezelfde driehoeken. Maar al hun driehoeken worden wel gelijkvormig.
Twee gelijke hoeken is een gelijkvormigheidskenmerk.

Dus als je van twee driehoeken kunt beredeneren dat ze twee paar gelijke hoeken hebben, dan weet je dat ze gelijkvormig zijn. In de figuur hiernaast kun je beredeneren dat de driehoeken $A B S$ en $C D S$ twee paar gelijke hoeken hebben. Dat volgt uit de evenwijdigheid van $A B$ en $C D$ . Bij de overeenkomstige zijden van deze twee driehoeken kun je daarom een verhoudingstabel maken.

$A B$ $7$ cm	$B S$ $4,5$ cm	$A S$ $6$ cm
$C D$ $a$ cm	$D S$ $b$ cm	$C S$ $1,5$ cm

De twee onbekende zijden kun je nu uitrekenen met behulp van de vergrotingsfactor van $Δ A B S$ naar $Δ C D S$ .

Opgave 1

In de Uitleg wordt besproken wanneer twee driehoeken congruent zijn. Dat is bijvoorbeeld zo als hun overeenkomstige zijden gelijk zijn.

Waarom zijn twee driehoeken ook congruent als ze een hoek en de zijden op de benen van die hoek gelijk hebben?

Waarom zijn twee driehoeken niet congruent als ze twee zijden en een hoek die niet door deze twee zijden wordt ingesloten gelijk hebben?

Maak een overzicht van alle situaties waarin twee driehoeken congruent zijn.

Opgave 2

Bekijk de figuur in de Uitleg .

Waarom is $∠ A S B = ∠ C S D$ ?

Waarom is $∠ A B S = ∠ C D S$ ?

In de tekst wordt uitgelegd dat $Δ A B S \sim Δ C D S$ . Staan de letters hierbij in de juiste volgorde?

Hoeveel bedraagt de vergrotingsfactor van $Δ A B S$ naar $Δ C D S$ ?

Bereken de lengtes van $C D$ en $D S$ .

Opgave 3

Je hebt in de vorige paragraaf gezien dat twee driehoeken gelijkvormig zijn als hun overeenkomstige hoeken gelijk zijn. Je hoeft dan niet ook nog te kijken of bij de overeenkomstige zijden een verhoudingstabel past, dat zit dan automatisch wel goed.
Zo zijn twee driehoeken ook gelijkvormig als bij de overeenkomstige zijden een verhoudingstabel past. Je hoeft dan niet meer de hoeken te vergelijken, dat zit meteen goed.

Maak een overzicht van alle gevallen waarin je kunt besluiten dat twee driehoeken gelijkvormig zijn.

verder | terug