Vlakke meetkunde > Stelling en bewijs
123456Stelling en bewijs

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Werk met de applet. Een middelloodlijn van een lijnstuk is lijn die loodrecht op dat lijnstuk staat en door het midden ervan gaat. Probeer een goede redenering op te zetten.

Opgave 1
a

Omdat (volgens de definitie) de middelloodlijn door het midden P van A B gaat en er loodrecht op staat, is Δ A P M Δ B P M ( A P = P B , A P M = B P M en P M = P M ). En dus is A M = M B .

b

Omdat A M = M B = B M = M C .

c

Neem aan dat je van punt M alleen weet dat A M = M C . Teken nu een lijn door M en loodrecht op A C . Het punt waar die lijn A C snijdt is R. Dan weet je dat Δ A R M Δ C R M ( A R M = C R M = 90 ° , A M = M C en R M = R M ). En dus is A R = R C en is R het midden van A C. De lijn die je vanuit M loodrecht op A C hebt getekend gaat dus ook door het midden van A C. Het is dus de middelloodlijn van A C.

Opgave 2
a

Gebruik je geodriehoek om alle hoeken in twee gelijke delen te verdelen. Zie de figuur bij e.

b

Ja, als het goed is wel.

c

Doen, die lijnstukken zijn inderdaad even lang. Maar bij het meten kan dit wel eens niet precies kloppen. Zie de figuur bij e.

d

Δ A P D Δ A R D ( A P D = A R D = 90 ° , A A = A D en P A D = R A D ). En dus is D P = D R .

e

Werk nauwkeurig. Hier zie je de constructie met GeoGebra.

Opgave 3
a

Bepaal de middens van de zijden met je geodriehoek.

b

Ja.

c

Als je de driehoek van karton zou maken en uitknippen dan kon je hem in evenwicht laten steunen op dit zwaartepunt. Dat komt omdat elke zwaartelijn de driehoek verdeeld in twee stukken met dezelfde oppervlakte (dus hetzelfde gewicht). (Snap je waarom dat zo is?)

d

Zoek gelijkvormige driehoeken (trek de hulplijn Q R ) en bedenk dan een waterdichte redenering. Zie Voorbeeld 1 voor een bewijs.

Opgave 4
a

Opnieuw zijn de driehoeken A S C en B S C congruent (ZZZ). En daaruit volgt dat A C S = B C S en dus dat C S deellijn van C is.

b

Nu mag je uitgaan van A C S = B C S . Verder is A B = A C ( Δ A B C is gelijkbenig) en C S = C S . Daaruit volgt dat de driehoeken A S C en B S C congruent zijn (ZHZ).

En dus is A S = S B en A S C = B S C = 90 ° . En daarmee is deellijn C S ook middelloodlijn van A B.

Opgave 5

Teken zo'n driehoek. De zwaartelijnen zijn ook middelloodlijnen en deellijnen. Het snijpunt M van de middelloodlijnen is ook snijpunt van de deellijnen en dus middelpunt van zowel de omgeschreven cirel als de ingeschreven cirkel. De omgeschreven cirkel gaat door de hoekpunten van de driehoek, de ingeschreven cirkel door de middens van de zijden.

Opgave 6

Noem de drie hoeken bij punt C van links naar rechts C 1 , C 2 en C 3

Omdat de lijn door C evenwijdig is met A B , geldt A = C 1 en B = C 3 (Z-hoeken).

Omdat C 1 + C 2 + C 3 = 180 ° is ook A + C 2 + B = 180 ° .

Opgave 7
a

Omdat A M = B M = C M de straal van een cirkel zijn.

b

De driehoeken A M C en B M C zijn gelijkbenig. Dit betekent dat A = A C M en B = B C M .

c

Noem de zwaartelijn C S, het snijpunt met A B is dus punt S.

Een zwaartelijn gaat vanuit punt C naar het midden van zijde A B. Dus is A S = S B . De driehoek was gelijkbenig en dus geldt ook A B = A C . Omdat ook C S = C S zijn de driehoeken A S C en B S C congruent (ZZZ).

En daarom is A = B .

d

A + A C M + B C M + B = 180 ° en A = A C M en B = B C M .
Dus is A C M + A C M + B C M + B C M = 180 ° zodat A C M + B C M = 90 ° .

e

Nee, C mag niet samenvallen met A of B want dan heb je geen driehoek.

Opgave 8

Maak de tekening en gebruik de stelling van Thales in Voorbeeld 2.

In Δ A B C geldt de stelling van Thales, dus C is recht.
In Δ A B D geldt de stelling van Thales, dus D is recht.
In Δ B D A geldt de stelling van Thales, dus A is recht.
In Δ B B C geldt de stelling van Thales, dus C is recht.

Opgave 9
a

Omdat ze C gemeenschappelijk hebben en C F = 1 2 C A en C E = 1 2 C B .

b

De vergrotingsfactor van Δ A B C naar Δ F E C bedraagt 1 2 . Dus is E F = 1 2 A B .
Verder volgt uit de gelijkvormigheid bij a dat B A C = E F C , dus E F / / A B .

c

Omdat E F / / A B is B A Z = F E Z , A B Z = E F Z (Z-hoeken). En verder is A Z B = E Z F (X-hoeken). Beide driehoeken hebben dus gelijke overeenkomstige hoeken.

d

Die volgt uit E F = 1 2 A B , zie b.

Opgave 10

Maak eerst een schets van de situatie. De zwaartelijnen noem je A E , B F en C D .

Omdat de driehoek gelijkbenig is, is de zwaartelijn A E ook hoogtelijn, dus kun je de stelling van Pythagoras gebruiken: A E 2 + 2 2 = 6 2 . Daarom is A E = 32 = 4 2 .
Omdat A Z : Z E = 2 : 1 is A Z = 2 3 4 2 = 8 3 2 .

Opgave 11
a

Doen, maak alle hoeken en alle zijden verschillend.

b

In Δ A B C is P Q = 1 2 A C en dat P Q / / A C , zoiets heb je in de vorige opgave aangetoond.

In Δ A B D is R S = 1 2 A C en dat R S / / A C .

En dus is P Q = R S = 1 2 A C en dat P Q / / R S .

c

Een parallellogram.

Opgave 12
a

Maak eerst een geschikte schets. Noem de hoogtelijn die ook deellijn is P M . Je wilt laten zien dat P Q = P R .

Je weet nu dat P M Q = P M R = 90 ° en dat M P Q = M P R . Verder is P M = P M . Dus geldt: Δ P M Q Δ P M R .
En daarom is P Q = P R .

b

Teken de twee middelloodlijnen van de zijden `PQ` en `PR` . Deze lijnen snijden elkaar in een punt `A` op `PM` . Dat punt `A` is het middelpunt van de omgeschreven cirkel.

c

Teken de twee bissectrices van `/_ Q` en van `/_ R` . Deze lijnen snijden elkaar in een punt `B` op `PM` . Dat punt `B` is het middelpunt van de ingeschreven cirkel.

Opgave 13

Bekijk de twee driehoeken K L P en M L Q . Deze driehoeken hebben beide een hoek van 90 ° en ze hebben een hoek gemeenschappelijk. Ze zijn daarom gelijkvormig. En dus zijn ook de andere hoeken van deze driehoeken gelijk.

Opgave 14
a

De hoeken zijn samen 360 °.
Dit volgt uit het feit dat elke vierhoek met behulp van een diagonaal in twee driehoeken is te verdelen die elkaar niet overlappen.

b

Je kunt elke vijfhoek opdelen in drie driehoeken door vanuit één geschikt gekozen hoekpunt de twee diagonalen te trekken. De som van de hoeken is daarom 540 °.

c

Je kunt elke n-hoek opdelen in n - 2 driehoeken door vanuit één geschikt gekozen hoekpunt de diagonalen te trekken. De som van de hoeken is daarom ( n - 2 ) 180 ° .

Opgave 15

Teken lijnstuk A B . Priscilla staat in punt P.

Volgens de stelling van Thales krijg je een rechte hoek als P op een cirkel ligt waarvan A B de middellijn is. Dus je tekent een cirkel met als middelpunt het midden van A B en je legt punt P ergens op de halve cirkel voor het bord.

Opgave 16

Maak eerst een schets van de situatie. Teken de zwaartelijnen er in.

Omdat Δ P Q T rechthoekig is, kun je de stelling van Pythagoras toepassen. Dus Q T = 5 cm. Dat betekent dat Q R = 10 cm. Met behulp van de stelling van Pythagoras vind je dan R U = 244 .
Omdat R Z : R U = 2 : 1 is R U = 1 3 244 .

Opgave 17

Maak eerst een schets van de situatie. Noem de driehoek A B C met M als midden van A B , terwijl ook M C = M A = M B .

De drie punten liggen dan op een cirkel met middellijn A B en dus is de driehoek rechthoekig (volgens de stelling van Thales).

Opgave 18Deellijnen in een rechthoek
Deellijnen in een rechthoek

Geef eerst in een eigen tekening de hoeken van 45 ° aan. Je kunt (met Z-hoeken) aantonen dat de deellijnen twee aan twee evenwijdig zijn. Dus is E F G H een parallellogram.
Verder is F E H = A E D = 90 ° . Dus is E F G H een rechthoek.

Nu moet je nog laten zien dat bijvoorbeeld E F en E H even lang zijn. Daartoe gebruik je de vier gelijkbenige rechthoekige driehoeken in de figuur...

Opgave 19Deellijnen in een parallellogram
Deellijnen in een parallellogram

Maak eerst een schets van de situatie. Noem het parallellogram A B C D en teken de vier deellijnen.

Geef de gelijke hoeken in je figuur aan en toon aan dat de ingesloten vierhoek een parallellogram is. De rechte hoek kun je aantonen met behulp van de hoekensom van een driehoek en die van een vierhoek en de verschillende gelijke hoeken.

Opgave 20
a

De hoogtelijn uit `A` is `AD` . De driehoeken `ABD` en `ACD` zijn gelijkvormig, want `/_ ADB = /_ ADC = 90^@` , `AD = AD` en `AB=BC` , dus geldt het gelijkvormigheidskenmerk `zzr` .

Daarom is `/_BAD = /_CAD` en is `AD` een bissectrice van `/_A` .

b

Uit de gelijkvormigheid bij a volgt ook `BD=DC` en dus is `AD` een zwaartelijn vanuit `A` .

Opgave 21

Teken de driehoek. Zet de drie middelloodlijnen van de zijden er in.
De omgeschreven cirkel heeft het snijpunt van de drie middelloodlijnen als middelpunt `M` en bijvoorbeeld `MA` als straal.

verder | terug