Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Stelling en bewijs

123456Stelling en bewijs

Voorbeeld 3

Je ziet hiernaast $Δ A B C$ waarin de drie zwaartelijnen zijn getekend. Deze lijnstukken verbinden een hoekpunt met het midden van de overstaande zijde. Hun snijpunt is het zwaartepunt $Z$ van de driehoek. Dit zwaartepunt verdeelt elke zwaartelijn in twee lijnstukken die zich verhouden als $2 : 1$ .
Bewijs dit.

> antwoord

Teken lijnstuk $E F$ .
Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken $A B C$ en $F E C$ volgt $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .
En daarom is $Δ A B Z \sim Δ E F Z$ . Bij de overeenkomstige zijden past dus een verhoudingstabel:

$A B$	$B Z$	$A Z$
$E F$	$F Z$	$E Z$

De vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ bedraagt $\frac{1}{2}$ , dus $E Z = \frac{1}{2} \cdot A Z$ en $F Z = \frac{1}{2} \cdot B Z$ . En dus is $A Z : E Z = B Z : F Z = 2 : 1$ .

Opgave 9

Bekijk het bewijs in Voorbeeld 3. Het bewijs is niet helemaal volledig uitgewerkt.

Teken zelf $Δ A B C$ met de zwaartelijnen $A E$ en $B F$ en teken lijnstuk $E F$ .
Waarom zijn de driehoeken $A B C$ en $F E C$ gelijkvormig?

Leg uit, dat dit betekent dat $E F / / A B$ en $E F = \frac{1}{2} \cdot A B$ .

Leg uit, dat uit het voorgaande volgt dat $Δ A B Z \sim Δ E F Z$ .

Hoe kom je aan de vergrotingsfactor van $Δ A B Z$ naar $Δ E F Z$ ?

Opgave 10

De stelling dat de zwaartelijnen in een driehoek elkaar verdelen in stukken die zich verhouden als $2 : 1$ kun je gebruiken bij meetkundige berekeningen.

Van een gelijkbenige driehoek $A B C$ is $A B = A C = 6$ en $B C = 4$ cm. De drie zwaartelijnen snijden elkaar in punt $Z$ .
Bereken de lengte van lijnstuk $A Z$ .

Opgave 11

Ook in een vierhoek kun je kijken naar de middens van de zijden. Van een vierhoek $A B C D$ is $P$ het midden van $A B$ , $Q$ het midden van $B C$ , $R$ het midden van $C D$ en $R$ het midden van $D B$ .

Teken zo'n vierhoek met de punten $P$ , $Q$ , $R$ en $S$ .

Bewijs dat $P Q = R S = \frac{1}{2} \cdot A C$ en dat $P Q / / R S$ .

Wat voor soort vierhoek is $P Q R S$ ?

verder | terug