Vlakke meetkunde > Stelling en bewijs
123456Stelling en bewijs

Uitleg

Je ziet hier Δ A B C met daarin de drie middelloodlijnen van de zijden getekend. Die drie lijnen lijken door één punt M te gaan en M lijkt het middelpunt te zijn van een cirkel door de drie hoekpunten van die driehoek.

Vooralsnog is de uitspraak dat deze drie middelloodlijnen door één punt gaan een "vermoeden" . Of heb je al een waterdichte redenering waaruit blijkt dat dit inderdaad altijd waar is? Als dat zo is dan heb je een "bewijs" geleverd. En als een vermoeden is bewezen, dan spreek je van een "stelling" . Bij het leveren van een bewijs is enige voorkennis nodig. Bijvoorbeeld wat een middelloodlijn precies is.

Dat moet je dan ook eerst doen: een "definitie" geven van wat een middelloodlijn is. Zo bijvoorbeeld:

  • Een "middelloodlijn" van een lijnstuk is een lijn die door het midden van dat lijnstuk gaat en er loodrecht op staat, dus de symmetrieas van dat lijnstuk.

Het bewijs van het vermoeden verloopt dan (in grote lijnen) als volgt:

Omdat M op de middelloodlijn van A B ligt is A M = M B .
Omdat M op de middelloodlijn van B C ligt is B M = M C .
Daaruit volgt dat A M = M C en dus dat M op de middelloodlijn van A C ligt.
En omdat M A = M B = M C ligt M evenver van alle drie de hoekpunten van de driehoek af en dus op de cirkel door die drie hoekpunten. De cirkel door de drie hoekpunten van een driehoek heet de "omgeschreven cirkel" van die driehoek.

En zo kun je meer uitspraken doen over bijzondere lijnen in driehoeken. Dat zijn dan altijd vermoedens tot er een bewijs voor is gevonden. Dan pas spreek je van een stelling.

Opgave 1

In de Uitleg is een bewijs gegeven van het vermoeden dat de drie middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan. Het bewijs is nog niet waterdicht als je er goed over nadenkt.

a

Hoe volgt uit het feit dat M op middelloodlijn van A B ligt dat A M = M B ? Probeer te laten zien dat Δ A P M Δ B P M .

b

Hoe volgt uit het A M = M B en B M = M C dat A M = M C ?

c

Waarom volgt uit het feit dat A M = M C dat M ook op de middelloodlijn van A C ligt? (Tip: Teken nu een lijn door M en loodrecht op A C en vindt twee geschikte congruente driehoeken.)

Opgave 2

De deellijn of bissectrice van een hoek is een lijn die deze hoek in twee gelijke delen verdeeld.

a

Teken een (niet al te kleine) driehoek A B C . Teken daarin de deellijnen van elk van de drie hoeken van de driehoek.

b

Gaan de drie deellijnen door één punt D?

c

Teken vanuit punt D het lijnstuk D P loodrecht op A B . Teken zo ook D Q loodrecht op B C en D R loodrecht op A C . Zijn deze drie lijnstukken even lang?

d

Probeer met behulp van twee congruente driehoeken te bewijzen dat D P = D R .

e

Omdat D P = D Q = D R kun je een cirkel tekenen die precies door P , Q en R gaat en D als middelpunt heeft. Ga dat in je figuur na, dit is de ingeschreven cirkel van Δ A B C .

Opgave 3

Een zwaartelijn in een driehoek is een lijn door een hoekpunt en het midden van de zijde tegenover dat hoekpunt.

a

Teken een (niet al te kleine) driehoek A B C . Teken daarin de drie zwaartelijnen C P , A Q en B R van de driehoek.

b

Gaan de drie zwaartelijnen door één punt Z?

Het bedoelde punt Z heet het zwaartepunt van de driehoek.

c

Wat heeft dit punt met de zwaartekracht te maken? Kun je ook verklaren waarom dit zo is?

d

Door punt Z wordt elke zwaartelijn in twee stukken verdeeld. Bijvoorbeeld de zwaartelijn A Q wordt verdeeld in de stukken A Z en Z Q . Probeer aan te tonen dat die stukken zich steeds verhouden als 2 : 1 .

verder | terug