Vlakke meetkunde

Vlakke meetkunde > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

Congruent zijn de vierhoeken $A B C D$ en $P S R Q$ . Door "hokjes tellen" kun je nagaan dat de overeenkomstige zijden en de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Gelijkvormig zijn de vierhoeken $A B C D$ en $M N K L$ . Door "hokjes tellen" kun je nagaan dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn en de overeenkomstige zijden met een vast vergrotingsfactor worden vermenigvuldigt. Die factor is $1,5$ als je uitgaan van vierhoek $A B C D$ .

Opgave 2

$Δ A B C \sim Δ A E D$ omdat $∠ B = ∠ E$ (Z-hoeken) en $∠ B A C = ∠ E A D$ (X-hoeken).

Zijde $E D$ .

Maak eventueel een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden. De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ A E D$ is $0,4$ . Dus $E D = 0,4 \cdot B C = 0,4 \cdot 9 = 3,6$ .

Opgave 3

$Δ A B C \sim Δ D E C$ omdat $∠ A = ∠ E D C$ (gegeven) en $∠ C = ∠ C$ (gemeenschappelijke hoek).

Zijde $E C$ .

Maak eventueel een verhoudingstabel. De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ D E C$ is $0,6$ . Neem $E C = x$ , dan is $x = 0,6 (x + 3)$ , dus $E C = x = 4,5$ .

Opgave 4

$Δ A B C \sim Δ B D C \sim Δ A D B$ .

Met de stelling van Pythagoras kun je berekenen dat $A C = 26$ .

Gebruik bijvoorbeeld $Δ A B C \sim Δ B D C$ en maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden. De vergrotingsfactor van $Δ A B C$ naar $Δ B D C$ is $\frac{10}{26}$ , dus $B D = \frac{10}{26} \cdot A B = \frac{10}{26} \cdot 24 = \frac{120}{13} \approx 9.23$ .

Opgave 5

Teken een gelijkbenige $Δ A B C$ met $A C = B C$ en drie hoogtelijnen $C D$ , $A E$ en $B F$ .

Bewijs nu eerst dat uit de gelijkbenigheid volgt dat $Δ A D C ≅ Δ B D C$ (ZZR) en dat daarom $∠ A = ∠ B$ .

Bewijs vervolgens dat $Δ A B E ≅ Δ B A F$ (ZHH) en dat daarom $A E = B F$ .

Geef bij de bewijzen duidelijk aan welke zijden en welke hoeken gelijk zijn.

Opgave 6

Als je niet meer weet hoe dit gaat, bestudeer dan het betreffende onderdeel nog eens. Vergelijk je figuren met die van je medeleerlingen of laat ze bij twijfel controleren door je docent.

Opgave 7

De hoekensom van zo'n vijfhoek is $3 \cdot 180 = 540 °$ , dus elke hoek ervan is $108 °$ .

Begin met een zijde van $4$ cm en zet daarop aan beide uiteinden een hoek van $108 °$ . Pas op de benen van die hoek $4$ cm af en zet op de uiteinden weer opnieuw hoeken van $108 °$ af.

Opgave 8

$Δ A B D \sim Δ B C D$ en de lengtevergrotingsfactor van $Δ A B D$ naar $Δ B C D$ is $\frac{10}{24} = \frac{5}{12}$ .

De bijbehorende oppervlaktevergrotingsfactor is ${(\frac{5}{12})}^{2} = \frac{25}{144}$ .

Beide oppervlaktes verhouden zich daarom als $144 : 25$ .

Opgave 9

Hoewel de overeenkomstige hoeken gelijk zijn, hoeven de overeenkomstige zijden nog niet in een verhoudingstabel te passen.

Omdat je nu gelijkvormige driehoeken krijgt. Voor gelijkvormigheid van driehoeken is het immers genoeg dat de overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Teken (in gedachten) de lijn evenwijdig $A C$ en door $F$ . Het snijpunt met $A D$ noem je bijvoorbeeld $P$ en dat met $B E$ is $Q$ : $P Q = A B$ .

Nu is $Δ P D F \sim Δ Q E F$ met vergrotingsfactor $\frac{3}{15}$ . Dus $2 = \frac{3}{15} (P Q + 2)$ zodat $P Q = 8$ en dus ook $A B = 8$ .

Opgave 10

Met de stelling van Pythagoras vind je $B E = 100$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $B H = \frac{40}{60} \cdot 100 = \frac{200}{3}$ .

Ga na, dat $E D = 110 - 80 = 30$ en $A F = 40$ en $F D = 20$ .
Met de stelling van Pythagoras vind je $A E = \sqrt{4500} = 30 \sqrt{5}$ .
Met behulp van gelijkvormigheid vind je $A G = \frac{40}{60} \cdot 30 \sqrt{5} = 80 \sqrt{5}$ .

Opgave 11

$Δ A B D \sim Δ F E D$ , $Δ A B E \sim Δ C D E$ en $Δ A D C \sim Δ A F E$ .

Uit $Δ A B D \sim Δ F E D$ volgt dat $D B = \frac{2}{5} E D$ , dus $E D : D B = 5 : 2$ . Dit betekent dat $E D = \frac{5}{7} E B$ .

Uit $Δ A B E \sim Δ C D E$ en $E D = \frac{5}{7} E B$ volgt $E C = \frac{5}{7} E A$ en dus $3 = \frac{5}{7} (3 + A C)$ . Dit geeft $A C = 1,2$ .

Opgave 12

$\frac{10}{0,60} \cdot 0,30 + 1,65 = 6,65$ , dus ongeveer $6,7$ m.

Opgave 13

Uit $Δ A B C \sim Δ B D C$ volgt $B D = \frac{5}{6} \cdot 10 = \frac{25}{3}$ .

Opgave 14

$Δ A Q P ≅ Δ A R P$ , want $∠ Q A P = ∠ R A P$ , $∠ Q = ∠ R = 90 °$ en $A P = A P$ .

En dus is $P Q = P R$ , wat te bewijzen was.

Teken $Δ A B C$ en daarin de drie deellijnen. Die drie bissectrices snijden elkaar in punt $D$ .

Teken vanuit $D$ loodlijnen naar de zijden van de driehoek. Teken tenslotte de cirkel met middelpunt $D$ door de punten van die loodlijnen op de zijden van de driehoek.

Opgave 15

$Δ A B D \sim Δ C A D$ . Stel $A D = h$ , dan volgt uit de verhoudingstabel $\frac{h}{3} = \frac{8}{h}$ en dus $h^{2} = 24$ .

Dit geeft $h = \sqrt{24}$ .

$Δ A B D \sim Δ C A D$ . Nu volgt uit de verhoudingstabel $\frac{h}{q} = \frac{p}{h}$ en dus $h^{2} = p q$ .

Opgave 16

De regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken met zijden van $8$ cm en een hoogte van $4 \sqrt{3}$ cm (gebruik de stelling van Pythagoras).
De oppervlakte van zo'n driehoek is $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}$ .
De oppervlakte van de regelmatige zeshoek is daarom $6 \cdot 16 \sqrt{3} = 96 \sqrt{3}$ .

Opgave 17

Het vloertje is gelijkvormig met het grondvlak van de piramide met een lengtevergrotingsfactor van $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$ . De bijbehorende oppervlaktevergrotingsfactor is ${(\frac{3}{4})}^{2} = \frac{9}{16}$ en dus is de oppervlakte van het houten vloertje $\frac{9}{16} \cdot 3^{2} = \frac{81}{16} = 5,0625$ m² en dat is ongeveer $506$ dm².

Opgave 18Hoogte meten met de Jacobsstaf

Hoogte meten met de Jacobsstaf

Doen.

$\frac{100}{0,65} \cdot 0,30 + 1,70 \approx 47,9$ m.

Opgave 19Practicum Jacobsstaf

Practicum Jacobsstaf

Bijvoorbeeld via Wikipedia (NL).
Of google naar afbeeldingen.

Eigen antwoord.

verder | terug