Goniometrie

Goniometrie > Hoeken berekenen

123456Hoeken berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

De begane grond is de hoofdrichting. Daarop start het vliegtuig, bijvoorbeeld in punt $A$ . Na $3000$ m heeft het vector $\vec{A V}$ afgelegd. Als $B$ het punt op de begane grond recht onder het vliegtuig is, dan is $B V = 1000$ m. Dat is de zijwaartse component van vector $\vec{A V}$ . De lengte van die component is ook $3000 \cdot \sin (α)$ als $α$ de gevraagde hoek is.
Dus is $3000 \cdot \sin (α) = 1000$ , zodat $\sin (α) = 0,333$ . Met de applet in Practicum vind je $α \approx 19 °$ .

Opgave 1

Je gebruikt sinus, want de zijwaartse component is gegeven, de begane grond is de hoofdrichting.

`AB = sqrt(3000^2 - 1000^2) = sqrt(8000000)` en `sqrt(8000000)=3000*cos(alpha)` geeft `cos(alpha) = sqrt(8000000)/3000` .
Ook dit levert met behulp van je rekenmachine ( `arccos(sqrt(8000000)/3000)` of `cos^(text(-)1)(sqrt(8000000)/3000)` gebruiken) op `alpha ~~ 19,5^@` .

Opgave 2

$10 \cdot \sin (∠ A) = 4$ geeft $\sin (∠ A) = 0,4$ en dus $∠ A \approx 23,6 °$ .

Om dit met behulp van cosinus te kunnen doen bereken je met de stelling van Pythagoras $A B = \sqrt{84}$ .
Dan volgt uit $10 \cdot \cos (∠ A) = \sqrt{84}$ dezelfde waarde voor de grootte van $∠ A$ .

Opgave 3

De centrale component van deze hoek is negatief, want tegen de hoofdrichting in. Je vindt voor de hoek $α \approx 114 °$ .

$15 \cdot \sin (β) = 10$ geeft $β \approx 138 °$ .
Opmerking: als je dit met de applet in het Practicum doet, vind je meteen de goede hoek. Je rekenmachine weet niet dat het om een stompe hoek gaat en geeft daarom een hoek van $42 °$ . Je moet dan zelf bedenken dat de goede hoek $β \approx 180 ° - 42 ° = 138 °$ is.

Opgave 4

Doen. Ga na, hoe je dit met je rekenmachine doet en vergelijk dat met de applet.

$B C = \sqrt{13^{2} - 12^{2}} = 5$ en dus is $13 \cdot \cos (∠ C) = 5$ . Hieruit volgt $\cos (∠ C) = \frac{5}{13}$ en dat levert dezelfde grootte van de hoek op als in het voorbeeld.

Je weet dat $∠ A = 90 ° - ∠ C$ .

Opgave 5

Uit $13 \cdot \cos (∠ B) = 12$ volgt $\cos (∠ B) = \frac{12}{13}$ en $∠ B \approx 23 °$ .

Uit $5 \cdot \sin (∠ D) = 3$ volgt $\sin (∠ D) = \frac{3}{5}$ en $∠ D \approx 37 °$ .

Uit $10 \cdot \cos (∠ I) = 7$ volgt $\cos (∠ I) = \frac{7}{10}$ en $∠ I \approx 46 °$ .

Opgave 6

Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat $B C = 5$ . Nu kun je in de rechthoekige driehoek $B D C$ rekenen met sinus of cosinus om $∠ D C B$ te berekenen.

Uit $5 \cdot \cos (∠ D C B) = 4$ volgt $\cos (∠ D C B) = 0,8$ en $∠ D C B \approx 37 °$ .

En dan is $∠ B A D = 90 ° - ∠ D C B \approx 53 °$ .

Opgave 7

Doen.

$7 \cdot \sin (β) = 3$ geeft $β \approx 25,4 °$ en dat klopt met $α \approx 64,6$ want deze twee waarden samen zijn $90 °$ .

Dat is om de hoogte van die mast nauwkeuriger te kunnen berekenen, een afwijking van maar een halve graad kan gerekend over $7$ m al een aardig verschil betekenen.

Doen, je vindt tot op twee decimalen nauwkeurig (dus tot op cm nauwkeurig) dezelfde waarde $6,32$ m.

Opgave 8

Als je de draadlengte $d$ noemt, dan moet $d \cdot \sin (50) = 10$ . Hieruit volgt $d = \frac{10}{\sin (50)} \approx 13,05$ m.

Opgave 9

Maak een schets van de situatie, bedenk dat de hoek tussen de vliegrichting en de windrichting stomp is.

Als je de gevraagde hoek $α$ noemt, dan moet $60 \cdot \cos (α) = - 15$ . Hieruit volgt $\cos (α) = - 0,25$ en $α \approx 104,5 °$ .

Opgave 10

Eerste figuur (linksboven):
$31 \cdot \cos (α) = 22$ geeft $\cos (α) = \frac{22}{31}$ en dus $α \approx 45 °$ .

Tweede figuur (linksboven):
$16 \cdot \sin (α) = 7$ geeft $\sin (α) = \frac{7}{16}$ en dus $α \approx 154 °$ .

Derde figuur (rechtsmidden):
$12 \cdot \cos (α) = - 8$ geeft $\cos (α) = - \frac{8}{12}$ en dus $α \approx 132 °$ .

Vierde figuur (uiterst rechts):
$25 \cdot \cos (α) = - 18$ geeft $\cos (α) = - \frac{18}{25}$ en dus $α \approx 224 °$ .

Opgave 11

Noem de gevraagde hoek $α$ , maak eventueel een schets.

$200 \cdot \sin (α) = 68$ geeft $\sin (α) = \frac{68}{200}$ en dus $α \approx 20 °$ .

Opgave 12

Noem de gevraagde hoek $α$ , maak eventueel een schets. Na het eerste deel van de tocht is hij $400 \cdot \sin (5) \approx 34,86$ m gestegen. Hij moet dus nog $15,14$ m stijgen.

$200 \cdot \sin (α) = 15,14$ geeft $α \approx 4,3 °$ .

Opgave 13

De gevraagde breedte is $A C$ .

$A C \cdot \sin (32) = 4$ geeft $A C = \frac{4}{\sin (32)} \approx 7,55$ m.

Opgave 14

Per trede kun je een rechthoekige driehoek tekenen waarvan de hypotenusa ongeveer $33,5$ cm is (stelling van Pythagoras).
Noem de gevraagde hoek $α$ .

$33,5 \cdot \sin (α) = 15$ geeft $α 26,6 °$ .

Opgave 15

Teken een hoogtelijn in deze driehoek en bereken de lengte ervan: $10$ cm (stelling van Pythagoras).
Noem een basishoeken $α$ .

$12 \cdot \cos (α) = 5$ geeft $α \approx 65,4 °$ .

De hoeken zijn daarom in graden nauwkeurig: $65 °$ , $65 °$ en $50 °$ .

Opgave 16Hoeken van 45 graden

Hoeken van 45 graden

De twee rechthoekszijden zijn gelijk, dus allebei $a$ cm.
De hypotenusa bereken je dan met de stelling van Pythagoras. Laat zien dat die $a \sqrt{2}$ wordt.

Uit $a \sqrt{2} \cdot \cos (45) = a$ volgt $\cos (45) = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Uit $a \sqrt{2} \cdot \sin (45) = a$ volgt $\sin (45) = \frac{a}{a \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \sqrt{2}$ .

Opgave 17Hoeken van 30 graden en 60 graden

Hoeken van 30 graden en 60 graden

De kortste rechthoekszijde is $a$ cm. De hypotenusa is dan twee keer zo lang, dus $2 a$ cm.
De langste rechthoekszijde bereken je dan met de stelling van Pythagoras. Laat zien dat die $a \sqrt{3}$ wordt.

Uit $2 a \cdot \cos (60) = a$ volgt $\cos (60) = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}$ .

Uit $2 a \sqrt{2} \cdot \sin (60) = a \sqrt{3}$ volgt $\sin (60) = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

Uit $2 a \sqrt{2} \cdot \cos (30) = a \sqrt{3}$ volgt $\cos (30) = \frac{a \sqrt{3}}{2 a} = \frac{1}{2} \sqrt{3}$ .

Uit $2 a \cdot \cos (30) = a$ volgt $\sin (30) = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2}$ .

Opgave 18

Voor het berekenen van hoeken vanuit gegeven sinus of cosinus kun je de applet in het Practicum of je rekenmachine gebruiken.

`alpha~~18,2^@` en `beta~~134,4^@` .

Opgave 19

Ongeveer `88,5^@` .

verder | terug