Ruimtemeetkunde

Ruimtemeetkunde > Doorsneden

12345Doorsneden

Voorbeeld 1

Je ziet hier een balk $A B C D . E F G H$ . Gegeven is $A B = 6$ , $B C = 3$ , $C G = 4$ . De punten `P` en `Q` zijn de middens van de ribben waarop ze liggen.
Waarom is vierhoek `DPQG` een doorsnede van een plat vlak met de gegeven balk?
Teken doorsnede $D P Q G$ op ware grootte.

> antwoord

De lengte van $D G$ kun je halen uit rechthoekige $Δ D C G$ : $D G = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$ .

De lengte van $D P$ kun je halen uit rechthoekige $Δ D A P$ : $D P = \sqrt{18}$ .

Omdat $D P Q G$ een plat vlak is, moet $D G / / P Q$ . Dus zijn de driehoeken $P B Q$ en $C D G$ gelijkvormig. Omdat $P B = \frac{3}{6} D C$ is ook $B Q = \frac{3}{6} C G$ , zodat $B Q = 2$ .

En dan kun je de lengtes van $P Q$ en $Q G$ ook berekenen: $P Q = Q G = \sqrt{13}$ .

Om het trapezium $D P Q G$ te kunnen tekenen, is het handig om eerst nog de lengte van een diagonaal te berekenen, bijvoorbeeld $P G = \sqrt{34}$ . Nu kun je de figuur construeren door twee driehoeken te maken met passer en liniaal.

Opgave 4

In Voorbeeld 1 is een doorsnede van een plat vlak met een balk getekend. Je wilt die doorsnede op ware grootte tekenen.

Bereken de lengte van $D G$ en die van $D P$ .

Verklaar waarom de driehoeken $P B Q$ en $D C G$ gelijkvormig zijn.

Reken nu de lengtes van $P Q$ en $Q G$ na.

Bereken de lengte van diagonaal $P G$ .

Teken trapezium $D P Q G$ op ware grootte.

Opgave 5

Gegeven is balk $A B C D . E F G H$ met $A B = 6$ cm, $B C = 4$ cm en $B F = 5$ cm. $M$ is het midden van $A E$ , $N$ is het midden van $C G$ en $K$ ligt op $B F$ met $B K = 1$ cm.

Is $H M K N$ een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

Is $K E G$ een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

Is $K M N$ een doorsnede van een vlak met deze balk? Licht je antwoord toe.

Vierhoek $H M B N$ is een doorsnede van een vlak met de gegeven balk.

Teken deze vierhoek op ware grootte. Schrijf alle noodzakelijke berekeningen op.

Opgave 6

Gegeven is balk $A B C D . E F G H$ met $A B = 6$ cm, $B C = 4$ cm en $B F = 5$ cm. $M$ is het midden van $A E$ , $N$ is het midden van $C G$ .

Er worden nu steeds twee lijnen gegeven. Schrijf op of ze elkaar snijden, evenwijdig zijn of elkaar kruisen.

$M H$ en $B N$ .

$M B$ en $H C$ .

$A E$ en $H G$ .

$M F$ en $A B$ .

$M N$ en $H B$ .

$C M$ en $A F$ .

Opgave 7

Hier zie je een regelmatig driezijdig prisma $A B C . D E F$ waarvan alle zijden $8$ cm lang zijn. De punten $P$ , $K$ , $L$ , $M$ en $N$ zijn steeds de middens van de ribben waar ze op liggen.

Waarom is vierhoek $K L M N$ de doorsnede van een vlak met dit prisma?

Teken vierhoek $K L M N$ op ware grootte. Schrijf alle daarvoor noodzakelijke berekeningen op.

Bereken (als je dat bij b nog niet hebt gedaan) alle hoeken van vierhoek $K L M N$ in graden nauwkeurig.

verder | terug