Ruimtemeetkunde

Ruimtemeetkunde > Totaalbeeld

12345Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$A M$ en $H B$ liggen in diagonaalvlak $A B G H$ en dat geldt dus ook voor de punten $M$ en $N$ .

Dit diagonaalvlak is een rechthoek met zijden $A B = 12$ en $B G = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ . (Misschien handig om die even op ware grootte te tekenen.)

De driehoeken $A N H$ en $M N B$ zijn gelijkvormig (want $∠ A N H = ∠ M N B$ (overstaande hoeken) en $∠ A H N = ∠ M B N$ (Z-hoeken)). Omdat alle zijden van $Δ A N H$ twee keer zo groot zijn dan die van $Δ M N B$ is $A N = \frac{2}{3} \cdot A M$ . Nu is $A M = \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = 13$ en dat betekent $A N = \frac{2}{3} \cdot 13 = \frac{26}{3}$ .

Verder is $\tan (∠ A B H) = \frac{10}{12}$ zodat $∠ A B H \approx 39,8 °$ .
Ook is $\tan (∠ B A M) = \frac{5}{12}$ zodat $∠ B A M \approx 22,6 °$ .
En daarom is $∠ A N B \approx 180 ° - 39,8 ° - 22,6 ° \approx 118 °$ .

Opgave 2

Elk van de vier opstaande zijvlakken is een gelijkbenige driehoek met een basis van $5$ cm en een hoogte van $\sqrt{10^{2} + 5^{2}} = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5}$ cm.

Voor elke basishoek $α$ geldt daarom $\tan (α) = \frac{5 \sqrt{5}}{2,5}$ , zodat $α \approx 77,4 °$ .

Elk opstaand zijvlak heeft daarom twee hoeken van $77,4 °$ en een tophoek van $25,6 °$ .

Opgave 3

Zie figuur. Gebruik je passer voor de lijnstukken van $4,5$ cm.

Opgave 4

Zie figuur.

Het betreft hier een piramide met een vierkant grondvlak $A B C D$ en een top $T$ die recht boven punt $D$ ligt.

Opgave 5

Er is geen vlak te vinden waar beide lijnen in liggen en ze lopen niet evenwijdig. (En in een parallelprojectie zijn evenwijdige lijnen ook evenwijdig getekend.)

Opgave 6

De lijnen $E N$ en $M C$ zijn evenwijdig, evenals de lijnen $E M$ en $C N$ .

Nu is $E N = M C = \sqrt{6^{2} + 6^{2}} = 6 \sqrt{2}$ en $E M = N C = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ is vierhoek $E M C N$ een parallellogram.

Om de vierhoek op ware grootte te kunnen tekenen moet je nog een diagonaal uitrekenen, bijvoorbeeld $M N = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$ . Nu kun je met de passer het parallellogram tekenen, begin met de diagonaal en cirkel de zijden om.

Opgave 7

Van de piramide is de hoogte $\sqrt{2^{2} + 2^{2}} = 2 \sqrt{2}$ . De inhoud is dus $\frac{1}{3} \cdot 4^{2} \cdot 2 \sqrt{2} \approx 15,1$ cm³

Van de kegel is de inhoud $\frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 4 \approx 16,8$ cm³.

De kegel heeft het grootste volume.

Opgave 8

Noem de hoogte $h$ , dan is $2 π \cdot \frac{1}{4} h \cdot h + 2 π \cdot {(\frac{1}{4} h)}^{2} = 628$ .

Deze vergelijking geeft $h \approx 17,9$ cm.

Opgave 9

Een regelmatige zeshoek bestaat uit zes gelijkzijdige driehoeken. Als de zijden van die zeshoek $120$ cm zijn is van elk van die driehoeken de basis $120$ cm en de hoogte $60 \sqrt{3}$ cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan $6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 120 \cdot 60 \sqrt{3} = 21600 \sqrt{3}$ . Als de zijden van die zeshoek $80$ cm zijn is van elk van die driehoeken de basis $80$ cm en de hoogte $40 \sqrt{3}$ cm. De oppervlakte van zo'n zeshoek is dan $6 \cdot \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot 40 \sqrt{3} = 9600 \sqrt{3}$ .

De boombank heeft dus een oppervlakte van $12000 \sqrt{3} \approx 20785$ cm².

Opgave 10

$4 + 2 + 2 + 1 = 9$ ogen.

Opgave 11

De uitslag bestaat uit vier gelijkbenige driehoeken met benen van $9,8$ cm en een basis van $6$ cm.

Elk van de vier gelijkbenige driehoeken heeft een basis van $6$ cm en een hoogte van $\sqrt{{9,8}^{2} - 3^{2}} \approx 9,33$ cm. De oppervlakte van de uitslag is dus $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 9,33 \approx 112$ cm².

$\sin (\frac{1}{2} ∠ A F C) = \frac{3}{9,8}$ dus $∠ A F C \approx 36 °$ .

Opgave 12

Omdat ze beide in de doorsnede $A C Q P$ van een vlak met de balk liggen. Immers $P Q / / A C$ .

De lijnen $P G$ en $A C$ zijn niet evenwijdig, dus deze punten liggen niet in één vlak.

Deze vierhoek is een trapezium met $A C = 10 \sqrt{2}$ , $P Q = 5 \sqrt{2}$ en $A P = C Q = \sqrt{5^{2} + 12^{2}} = 13$ . De hoogte van dit trapezium is $\sqrt{13^{2} - {(2,5 \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{155,5}$ .

De oppervlakte van $A C Q P$ is daarom $\frac{1}{2} \cdot (10 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{155,5} = 7,5 \sqrt{311}$ cm².

Opgave 13

$90 \cdot 90 \cdot 65 - \frac{1}{4} \cdot π \cdot 70^{2} \cdot 65 \approx 276351$ cm³.

$2 \cdot 90 \cdot 65 + 2 \cdot 20 \cdot 65 + \frac{1}{4} \cdot 2 π \cdot 70 \cdot 65 + 2 \cdot (90 \cdot 90 - \frac{1}{4} \cdot π \cdot 70^{2}) \approx 29950$ cm².

Opgave 14

De volumevergrotingsfactor is $1 / 5 = 0,2$ .

Als de lengtevergrotingsfactor $k$ is, dan is de volumevergrotingsfactor $k^{3}$ . Dus is $k^{3} = 0,2$ en $k = \sqrt[3]{0,2} \approx 0,58$ .
De letters op het kleine blik zijn daarom ongeveer $8 \cdot 0,58 \approx 4,6$ cm hoog.

Opgave 15

Ongeveer $6600 / 12 = 550$ dagen.

Begin bij het begin van de tunnel. Na $50$ m ben je $1$ brandblusser gepasseerd, na $100$ m ben je $2$ brandblussers gepasseerd, na $150$ m ben je $3$ brandblussers gepasseerd, na $200$ m ben je $4$ brandblussers gepasseerd, ..., na $6550$ m ben je $6550 / 50 = 131$ brandblussers gepasseerd. En als je de tunnel dan uitloopt komt er geen brandblusser meer bij.
Er hangen dus $131$ brandblussers.

Noem die hoek $α$ , dan is $\sin (α) = \frac{60}{1300}$ en dus is $α \approx 2,6 °$ .

De totale inhoud van de tunnelbuis is $π \cdot {5.65}^{2} \cdot 6600 \approx 661897$ m³ en voor die hoeveelheid zand zijn $33095$ van die vrachtwagens gevuld.

Opgave 16De oppervlakte van een kegel

De oppervlakte van een kegel

Doen.

De oorspronkelijke cirkel had een omtrek van $2 π \cdot 5 = 10 π$ cm. Na het wegknippen van de sector met een sectorhoek van $90 °$ is daar het $270 / 360 = \frac{3}{4}$ deel van over, dus de omtrek van de grondcirkel van de kegel is $\frac{3}{4} \cdot 10 π = 7,5 π$ .
De straal van de kegel is daarom $3,75$ cm.
De straal van de oorspronkelijke cirkel is de lengte van een lijnstuk vanuit de top van de kegel naar de grondcirkel.

Het $270 / 360 = \frac{3}{4}$ deel van de oppervlakte van de oorspronkelijke cirkel, dus $\frac{3}{4} \cdot π \cdot 5^{2} = \frac{75}{4} π$ .

De oppervlakte wordt $\frac{120}{360} \cdot π \cdot 5^{2} = \frac{25}{3} π$ .
De omtrek van de grondcirkel van de kegel wordt $\frac{120}{360} \cdot 2 π \cdot 5 = \frac{10}{3} π$ en dus wordt de straal van de kegel $\frac{5}{3}$ cm.
De hoogte wordt $\sqrt{5^{2} - {(\frac{5}{3})}^{2}} = \frac{10}{3} \sqrt{2}$ .

De oorspronkelijke cirkel heeft een omtrek van $2 π R$ en een oppervlakte van $π R^{2}$ .
Je knipt er een sector uit, de overblijvende sector heeft een hoek $α$ . Dan is de omtrek van de grondcirkel van de kegel $\frac{α}{360} \cdot 2 π R$ en de straal van de grondcirkel $r = \frac{α}{360} \cdot R$ .
De oppervlakte van de kegelmantel is $\frac{α}{360} \cdot π R^{2} = π \cdot \frac{α}{360} \cdot R^{2} = π \cdot (\frac{α}{360} \cdot R) \cdot R = π r R$ .

Er geldt $r = 4$ en $R = \sqrt{4^{2} + 5^{2}} = \sqrt{41}$ . De kegelmantel heeft daarom een oppervlakte van $π r R = π \cdot 4 \cdot \sqrt{41} = 4 π \sqrt{41}$ .
De grondcirkel telt ook mee, die heeft een oppervlakte van $π \cdot 4^{2} = 16 π$ .
De totale oppervlakte is daarom $16 π + 4 π \sqrt{41}$ .

Opgave 17Een bekertje

Een bekertje

Noem de hoogte van de kegel met punt $h$ , dan is de hoogte van de kegelvormige punt $\frac{8}{10} h$ . (Dit kan ook met gelijkvormigheid in een dwarsdoorsnede van de kegel met hoogte $h$ .)
Dit betekent dat $\frac{2}{10} h = 12$ en dus $h = 60$ cm.

De inhoud van het bekertje is daarmee $\frac{1}{3} \cdot π \cdot 5^{2} \cdot 60 - \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4^{2} \cdot 48 = 244 π \approx 767$ cm³.
Echt wel een beker dus...

De kegelmantel met punt is een stuk van een cirkel met straal $R = \sqrt{5^{2} + 60^{2}} = \sqrt{3625}$ en de oppervlakte daarvan is $π r R = π \cdot 5 \cdot \sqrt{3625} \approx 945,7$ cm².
De kegelmantel van de punt zelf is een stuk van een cirkel met straal $R = \sqrt{4^{2} + 48^{2}} = \sqrt{2320}$ en de oppervlakte daarvan is $π r R = π \cdot 4 \cdot \sqrt{2320} \approx 605,3$ cm².

De mantel van de beker is daarom ongeveer $340,4$ cm².
Daarbij komt nog de bodem van de beker met een oppervlakte van $π \cdot 4^{2} \approx 50,3$ cm².
De totale oppervlakte is dus ongeveer $391$ cm².

verder | terug