Algebra

Algebra > Haakjes

Overzicht

123456Haakjes

Uitleg

De figuren hiernaast laten zien dat

$2 \cdot (x + 7) = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2 x + 14$
Het product van de factoren $2$ en $x + 7$ herleid je zo tot de tweeterm $2 x + 14$ .
$(x + 5) \cdot (x + 7) = x \cdot x + 7 \cdot x + 5 \cdot x + 5 \cdot 7 = x^{2} + 12 x + 35$
Het product van de factoren $x + 5$ en $x + 7$ herleid je zo tot de drieterm $x^{2} + 12 x + 35$ .

Een product bestaat uit factoren en een optelling (of aftrekking) uit termen. En je ziet in de bovenste figuur dat de factor $2$ wordt verdeeld over de twee termen van de factor $x + 7$ . In de onderste figuur gebeurt iets dergelijks.

Dit is de verdeeleigenschap of ook wel distributieve eigenschap van getallen en daarom ook van variabelen. Je noemt dit wel haakjes uitwerken. Deze eigenschap gaat op voor alle getallen, ook negatieve.

Je kunt ook in de omgekeerde richting werken:

$2 x + 14 = 2 \cdot x + 2 \cdot 7 = 2 \cdot (x + 7)$
$x^{2} + 12 x + 35 = x \cdot x + 7 \cdot x + 5 \cdot x + 5 \cdot 7 = (x + 7) \cdot (x + 5)$

Dit heet ontbinden in factoren omdat je nu van een tweeterm of een drieterm weer een product van twee factoren maakt. Bij de eerste van deze twee ontbindingen zoek je de grootste gemeenschappelijke deler (GGD) van beide termen. Je kunt dan die GGD buiten haakjes halen. Maar bij de tweede ontbinding kun je beter anders te werk gaan.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg hoe je haakjes kunt uitwerken.

Maak zelf een rechthoek waarmee je laat zien dat $4 (2 x + 3) = 8 x + 12$ .

Maak zelf een rechthoek waarmee je laat zien dat $(2 x + 3) (x + 4) = 2 x^{2} + 14 x + 12$ .

Werk van $x (2 x + 3)$ de haakjes uit.

Je kunt van $x (2 x - 3)$ de haakjes uitwerken door de uitdrukking te schrijven als $x (2 x - 3) = x (2 x + -3)$ .

Wat krijg je dan als je het antwoord zo ver mogelijk herleidt?

Werk van $(x + 5) (2 x - 3)$ de haakjes uit.

Laat met behulp van de verdeeleigenschap zien, dat $- (x - 3) = - x + 3$ .

Opgave 2

Werk de haakjes uit en herleid zover mogelijk:

$5 (a + 2 b)$

$5 a (a - 2 b)$

$(x + 4) (x + 5)$

$(2 x - 4) (x - 5)$

$3 (2 p + 4) + 5 (4 - p)$

$3 (2 p + 4) - (4 - p)$

Opgave 3

Het omgekeerde van haakjes uitwerken is ontbinden in factoren. Daarbij maak je van een tweeterm of een drieterm (of een uitdrukking met nog meer termen) een product van factoren. Eerst ga je op zoek naar de gemeenschappelijke delers van alle termen.

Bekijk de uitdrukking $6 x + 9$ . Welke GGD hebben beide termen? Hoe wordt dus de ontbinding in factoren?

Bekijk de uitdrukking $8 x - 6 x^{2}$ . Welke GGD hebben beide termen? Hoe wordt dus de ontbinding in factoren?

Bekijk de uitdrukking $2 x^{2} - 6 x + 12$ . Welke GGD hebben alle drie de termen? Hoe wordt dus de ontbinding in factoren?

Bekijk de uitdrukking $x^{2} + 5 x + 6$ . Is er een GGD van alle drie de termen? Laat zien dat $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ .

verder | terug