Stelsels vergelijkingen

Stelsels vergelijkingen > Een variabele elimineren

1234Een variabele elimineren

Toepassen

Dit is een toepassing die typisch is voor wiskunde B in de bovenbouw.

In de figuur zie je een cirkel met middelpunt $O (0, 0)$ en straal $r$ .

Als $r = 5$ , dan geldt voor elk punt $P$ op de cirkel dat $x^{2} + y^{2} = 5^{2}$ . Dit noem je wel de vergelijking van de cirkel.
Elke cirkel met middelpunt $O$ heeft een dergelijke vergelijking.

Je ziet ook een rechte lijn met een vergelijking van de vorm $y = a x + b$ waarbij $a$ en $b$ instelbaar zijn.

Als je in een bepaald geval (bijvoorbeeld $r = 5$ , $a = 1$ en $b = 0$ ) de snijpunten van de lijn en de cirkel wilt berekenen, dan kun je dit doen door het bijbehorende stelsel van twee vergelijkingen met onbekenden $x$ en $y$ op te lossen.

Opgave 15Snijpunten van cirkels en lijnen

Snijpunten van cirkels en lijnen

Bekijk hierboven hoe bij een cirkel met middelpunt $O$ een vergelijking kan worden gemaakt.

Ga uit van $r = 5$ , $a = 1$ en $b = 0$ .

Leg uit, waarom voor elk punt op deze cirkel geldt $x^{2} + y^{2} = 5^{2}$ .

Je ziet bij deze instellingen een cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ en een lijn met vergelijking $y = x$ . Bereken de twee snijpunten van de lijn en de cirkel.

Door andere waarden van $a$ en/of $b$ en/of $r$ te kiezen, kun je het berekenen van snijpunten van een lijn en een cirkel oefenen. Meestal komen de coördinaten niet op gehele getallen uit. Om veel vervelend rekenwerk te vermijden kun je dan bijvoorbeeld op één decimaal gaan afronden.

Oefen jezelf of oefen samen met een medeleerling.

Neem $r = 5$ en $b = 0$ . Voor welke waarden van $a$ krijg je snijpunten met gehele coördinaten?

Neem $b = 0$ . Bij de meeste cirkels krijg je dan alleen als $a = 0$ snijpunten met gehele coördinaten. Voor welke waarden van $r$ krijg je ook voor andere waarden van $a$ snijpunten met gehele coördinaten?

Opgave 16Snijpunten of raakpunten

Snijpunten of raakpunten

Neem in de applet hierboven $r = 5$ en $a = 1$ . Er zijn nu waarden van $b$ waarvoor de twee snijpunten van de lijn en de cirkel samenvallen. De lijn raakt dan de cirkel.

Bepaal eerst zo nauwkeurig mogelijk met de applet welke waarden dit zijn.

Verzin een manier om deze waarden van $b$ te berekenen vanuit de vergelijkingen van de cirkel en de lijn.

Je ziet bij deze instellingen een cirkel met vergelijking $x^{2} + y^{2} = 25$ en een lijn met vergelijking $y = x$ . Bereken de twee snijpunten van de lijn en de cirkel.

verder | terug