Stelsels vergelijkingen > Een variabele elimineren
1234Een variabele elimineren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

h = 2 5 9 ( F - 32 ) - 34 = 10 9 F + 14 9

Opgave 1
a

2,50 k + 4,50 ( 600 - k ) = 2466 geeft 2700 - 2 k = 2466 en dus 2 k = 234 zodat k = 117 .

De bijbehorende waarde voor v vind je uit v = 600 - k . Dit levert k = 483 op.

b

k = 600 - v substitueren geeft 2,5 ( 600 - v ) + 4,5 v = 2466 .

Haakjes uitwerken levert 1500 + 2 v = 2466 op en dus wordt 2 v = 966 en v = 483 .

Opgave 2
a

x = y - 3,5 geeft na substitutie 4 ( y - 3,5 ) - y = - 9 . Hieruit volgt y = 5 3 en dus x = 5 3 - 3,5 = - 11 6 .

b

y = 4 x + 9 geeft na substitutie 2 x = 2 ( 4 x + 9 ) - 7 en dus x = - 11 6 . En dat geeft y = 5 3 .

Opgave 3
a

Je substitueert C = 5 9 ( F - 32 ) in de formule h = 2 C - 34 . Je vervangt dus de variabele C in de formule h = 2 C - 34 door de uitdrukking 5 9 ( F - 32 ) .

b

R = p ( 400 - 20 p )

c

Het wordt een parabool, want het is een kwadratische functie. In dit geval wordt het een bergparabool.

d

De formule q = 400 - 20 p herschrijven naar de vorm p = ... .

e

De formule q = 400 - 20 p kun je herleiden tot p = 20 - 0,05 q .
Dus je krijgt R = ( 20 - 0,05 q ) q .

Opgave 4
a

4 x + 2 y = 15 wordt y = 7,5 - 2 x .
De tweede vergelijking wordt 3 x + ( 7,5 - 2 x ) = 10 en zonder haakjes x + 7,5 = 10 zodat x = 2,5 .

De oplossing van dit stelsel is dus ( 2,5 ; 2,5 ) .

b

4 x + 2 y = 15 wordt x = 3,75 - 0,5 y .
De tweede vergelijking wordt 3 ( 3,75 - 0,5 y ) + y = 10 en zonder haakjes 11,25 - 0,5 y = 10 zodat y = 2,5 .

De oplossing van dit stelsel is weer ( 2,5 ; 2,5 ) .

c

Het omwerken van 3 x + y = 10 naar y = 10 - 3 x is het gemakkelijkst omdat je niet ook nog beide zijden door een getal hoeft te delen.

Opgave 5
a

De tweede vergelijking herleid je tot x = 2 y - 4 .
De eerste vergelijking wordt na substitutie 3 ( 2 y - 4 ) + 4 y = 12 en zonder haakjes 10 y - 12 = 12 zodat y = 2,4 .

De oplossing van dit stelsel is ( 2,4 ; 0,8 ) .

b

De eerste vergelijking kun je schrijven als x = 6 + 2 y .
De tweede vergelijking wordt y - 2 ( 6 + 2 y ) = 4 en zonder haakjes - 12 - y = 4 zodat y = - 16 .

De oplossing van dit stelsel is ( - 26 , - 16 ) .

c

De tweede vergelijking wordt x = 8 . Dit substitueer je in de eerste en je krijgt 32 - y = 20 en dus y = 12 .

De oplossing van dit stelsel is ( 8 , 12 ) .

d

De tweede vergelijking hoef je niet te herleiden. Je kunt meteen in de eerste substitueren en je krijgt 5 y - y = 12 en dus y = 3 .

De oplossing van dit stelsel is ( 3 , 3 ) .

Opgave 6

Kies voor de prijs van een appel (in euro) de variabele a en voor de prijs (in euro) van een peer p. De twee aanwijzingen leveren de vergelijkingen a + 3 p = 2,75 en 2 a + p = 1,75 op.
Herleid de eerste vergelijking tot a = 2,75 - 3 p en vervang a in de tweede vergelijking. Dit levert op 2 ( 2,75 - 3 p ) + p = 1,75 . Haakjes uitwerken en herleiden levert p = 0,75 op. Dan volgt p = 0,50 .

Conclusie is dat een appel € 0,50 kost.

Opgave 7
a

De tweede vergelijking schrijf je als a = 4 - x en dan wordt de eerste y = 2 ( 4 - x ) + 6 = 14 - 2 x .

b

De tweede vergelijking schrijf je als l = 9,5 - b en dan wordt de eerste A = ( 9,5 - b ) b .

c

De eerste vergelijking schrijf je als r = 8 p - 40 en dan wordt de tweede 2 ( 8 p - 40 ) - 3 q = 6 en na enig herleiden q = 16 3 p - 86 3 .

Opgave 8
a

Doen.

b

Meteen substitueren en je krijgt y 2 - 3 - y + 3 = 0 . En daarmee vind je dezelfde oplossing.

c

Je moet dan y = x + 3 substitueren en dat geeft x = ( x + 3 ) 2 - 3 . Daarin is het uitwerken van de haakjes lastiger dan in de vorige uitwerkingen.

Opgave 9
a

Je kunt meteen substitueren: 2 x + x 2 = 3 . Dit geeft x 2 + 2 x - 3 = 0 en dus x = - 3 x = 1 .

Oplossing: ( - 3 , 9 ) en ( 1 , 1 ) .

b

De eerste vergelijking wordt p = 2 q 2 .
Substitueren in de tweede en je krijgt 2 q 2 ( 5 q - 8 ) = 1 . En dat wordt 2 ( 5 q - 8 ) = q 2 ofwel q 2 - 10 q + 16 = 0 . Dit geeft q = 2 q = 8 .

Bij q = 2 hoort p = 0,5 en bij q = 8 hoort p = 1 32 .

c

x + y = 0 geeft y = - x .
Dit substitueren in de andere vergelijking geeft x 2 + ( - x ) 2 = 6 ofwel 2 x 2 = 6 en x = ± 3 .

Bij x = 3 hoort y = - 3 en bij x = - 3 hoort y = 3 .

Opgave 10
a

Meteen substitueren geeft (bijvoorbeeld) 5 x - x = 10 en dus x = 2,5 . Hierbij vind je y = 2,5 .

b

x - y = - 1 geeft x = y - 1 .
Dit substitueren levert op y - 1 + y = 1 en hieruit volgt y = 1 . En dat betekent x = 0 .

c

2 x - 3 y = 8 geeft x = 1,5 y + 4 .
Substitutie geeft 3 ( 1,5 y + 4 ) + 5 y = 31 en dus 9,5 y = 19 zodat y = 2 . Hieruit volgt x = 7 .

d

2 x - y = 3 geeft y = 2 x - 3 .
Substitutie geeft x 2 = 11 - ( 2 x - 3 ) en dus x 2 + 2 x - 14 = 0 zodat x = - 1 ± 15 . Hieruit volgt y = - 5 ± 2 15 .

e

0,1 x + 0,16 y = 1,26 geeft x = - 1,6 y + 12,6 .
Substitutie geeft 0,55 ( - 1,6 y + 1,26 ) - 0,7 y = 0,61 en y = 4 . Hieruit volgt x = 6,2 .

f

y - 2 x + 3 = 0 geeft y = 2 x - 3 .
Substitutie geeft 1 x + 1 2 ( 2 x - 3 ) = 1 en dus x 2 - 2,5 x + 1 = 0 zodat x = 2 x = 0,5 . Bij x = 2 hoort 1 = 1 en bij x = 0,5 hoort y = - 2 .

Opgave 11
a

Meteen substitueren geeft y = 3 ( 2 x + 2 ) - 3 = 6 x + 3 .

b

a = 2 x - 2 geeft x = 0,5 a + 1 .
Dit substitueren levert op 0,5 a + 1 = z - 1 en hieruit volgt z = 0,5 a + 2 .

c

2 p - q = 4 geeft p = 0,5 q + 2 .
Substitutie geeft a = 2 ( 0,5 q + 2 ) 2 - 1 = 0,5 q 2 + 4 q + 7 .

d

x = k - 1 geeft k = x 2 + 1 .
Substitutie geeft y = 2 ( x 2 + 1 ) - 3 = 2 x 2 - 1 .

Opgave 12

Dit kun je oplossen met behulp van een stelsel vergelijkingen.
Als u het uurloon en v de voorrijkosten zijn, dan volgt uit de tekst 2,5 u + v = 167,50 en 6 u + v = 325 . Als je dit stelsel vergelijkingen oplost, dan vind je u = 45 .

Maar dit kun je wel zonder stelsel vergelijkingen oplossen: het verschil in kosten is 325 - 167,50 = 157,50 en dit is 6 - 2,5 = 3,5 uur werk, dus elk uur kost 157,50 / 3,50 = 45 euro.

Opgave 13
a

V = r 3 en A = 6 r 2 .

b

A = 6 r 2 geeft r = 1 6 A = 1 6 6 A .
Dit substitueren levert op V = ( 1 6 6 A ) 3 = 1 36 A 6 A .

c

V = r 3 geeft r = V 3 .
Substitutie geeft A = 6 ( V 3 ) 2 .

d

Gebruik de formule die je bij b hebt gevonden en je vindt V = 1 36 100 600 68 cm3.

e

Gebruik de formule die je bij c hebt gevonden en je vindt A = 6 ( 100 3 ) 2 129 cm2.

Opgave 14
a

Om de winst te berekenen bepaal je eerst de winst per kop, dat is de prijs minus de kosten per kop koffie. Dit vermenigvuldig je met het aantal koppen koffie dat je verkoopt.

b

Door substitutie vind je W = ( p - 0,50 ) ( 400 - 100 p ) . Dit is een kwadratische formule waarbij als grafiek een bergparabool hoort. De nulpunten van die bergparabool liggen bij p = 0,50 en p = 4 , dus de top ligt bij p = 2,25 . Daarbij hoort a = 400 - 100 2,25 = 175 .

Dus maakt Loes de meeste winst als ze 175 koppen koffie a € 2,25 verkoopt.

Opgave 15Snijpunten van cirkels en lijnen
Snijpunten van cirkels en lijnen
a

Dat volgt meteen uit de stelling van Pythagoras in de rechthoekige driehoek met hoekpunten O en P die je in de figuur ziet. Noem je immers het derde punt van die driehoek Q, dan is O Q = x , P Q = y en O P = 5 , ook als je het punt P verplaatst.

b

Substitutie van y = x in de cirkelvergelijking geeft 2 x 2 = 25 . Dit geeft x = ± 12,5 = ± 2,5 2 .

De snijpunten zijn ( 2,5 2 ; 2,5 2 ) en ( - 2,5 2 ; - 2,5 2 ) .

c

In de applet kun je de snijpunten zien, met de rechter muisknop kun je de waarde ervan opvragen.

d

Voor a = 0 , a = ± 3 4 en a = ± 4 3 .

e

Alleen als r 2 de som van twee kwadraten is.

Opgave 16Snijpunten of raakpunten
Snijpunten of raakpunten
a

b ± 7,07

b

Substitutie van y = x + b in de cirkelvergelijking geeft x 2 + ( x + b ) 2 = 25 . Dit kun je herleiden tot 2 x 2 + 2 b x + b 2 - 25 = 0 .

Dit is een kwadratische vergelijking. Deze vergelijking moet niet twee, maar slechts één oplossing voor x hebben. Dit betekent dat de discriminant gelijk moet zijn aan 0.
Dus ( 2 b ) 2 - 4 2 ( b 2 - 25 ) = 0 . Dit levert op b = ± 50 .

Opgave 17
a

`x+y=8` wordt `y=8-x` .

Dit invullen in de tweede vergelijking geeft `x-2(8-x)=0` .

Oplossing: `x=16/3` en `y=8/3` .

b

Oplossing: `x=2` en `y=5` of `x=10` en `y=1` .

Opgave 18

`F = 5/9 K - 119 34/45`

verder | terug