Stelsels vergelijkingen > Handig combineren
1234Handig combineren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Doen.

b

Het verschil van beide uitdrukkingen links van het isgelijkteken is 3.5 u en het verschil van beide getallen rechts van het isgelijkteken is 157,50.

c

157,50 / 3,50 = 45 euro.

Opgave 1
a

Omdat bij beide vergelijkingen de uitdrukkingen links en rechts van het isgelijkteken hetzelfde zijn. Je kunt dus de balansmethode toepassen.

b

Door x = 28 in te vullen in één van beide gegeven vergelijkingen. Hier is gekozen om in te vullen in x + y = 20 , maar je kunt ook de andere vergelijking daarvoor gebruiken.

c

Als je de uitdrukkingen links van het isgelijkteken van elkaar aftrekt en je doet hetzelfde rechts van het isgelijkteken, dan krijg je 2 y = - 16 en dus y = - 8 .

Invullen in één van beide gegeven vergelijkingen geeft x = 28 .

Opgave 2
a

{ 2 x + 3 y = 51 - 2 x + y = 21

b

Je moet ze optellen, want dan vallen de termen met x weg: 2 x + - 2 x = 0 .

c

Optellen geeft 4 y = 72 en dus y = 18 .

Invullen in één van beide gegeven vergelijkingen geeft x = - 1,5 .

d

Snijpunt `(text(-)1,5; 18)` .

Opgave 3
a

{ 4 x + 3 y = 51 - 2 x + y = 21

b

{ 4 x + 3 y = 51 - 4 x + 2 y = 42

c

Optellen geeft 5 y = 93 en dus y = 18,6 .

Invullen in (bijvoorbeeld) de onderste vergelijking geeft - 2 x + 18,6 = 21 en dus x = - 1,2 .

d

Nu vermenigvuldig je de onderste vergelijking aan beide zijden met 3.
Het stelsel wordt dan:
{ 4 x + 3 y = 51 - 6 x + 3 y = 63

Aftrekken geeft 10 x = - 12 en dus x = - 1,2 .

Invullen in (bijvoorbeeld) de onderste vergelijking geeft y = 18,6 .

Opgave 4
a

Je moet dan eerst de bovenste vergelijking (links en rechts van het isgelijkteken) met 5 vermenigvuldigen en de onderste vergelijking met 3. Je krijgt:

{ 10 x - 15 y = 40 9 x + 15 y = 93

Als je beide vergelijkingen bij elkaar optelt, vallen de termen met y weg.
Je houdt over: 19 x = 133 en dus x = 7 . Dit invullen in één van de gegeven vergelijkingen, bijvoorbeeld in de bovenste. Dat levert op: 2 7 - 3 y = 8 . Hieruit volgt y = 2 .

b

2 x - 3 y = 8 wordt x = 1,5 y + 4 .
De tweede vergelijking wordt 3 ( 1,5 y + 4 ) + 5 y = 31 en zonder haakjes 9,5 y + 12 = 31 zodat y = 2 .

De berekening van x is nu makkelijker: x = 1,5 2 + 4 = 7 .

c

Eigen antwoord.

Opgave 5
a

Bijvoorbeeld eerst de bovenste vergelijking met 4 vermenigvuldigen en de onderste vergelijking met 3. Je krijgt:

{ - 12 x + 16 y = 296 12 x + 27 y = - 81

Als je beide vergelijkingen bij elkaar optelt, vallen de termen met x weg.
Je houdt over: 43 y = 215 en dus y = 5 . Dit invullen in één van de gegeven vergelijkingen, bijvoorbeeld in de bovenste. Dat levert op: 4 5 - 3 x = 74 . Hieruit volgt x = - 18 .

b

4 x - y = 1 wordt y = 4 x - 1 .
De tweede vergelijking wordt 2 x + 5 ( 4 x - 1 ) = 1 en zonder haakjes 22 x - 5 = 1 zodat x = 2 11 en y = 4 2 11 - 1 = - 3 11 .

c

x 2 = y - 1 wordt y = x 2 + 1 .
En dus 2 x + x 2 + 1 = 16 , zodat x 2 + 2 x - 15 = ( x + 5 ) ( x - 3 ) = 0 . Je vindt x = - 5 x = 3 .

Bij x = - 5 hoort y = 26 en bij x = 3 hoort y = 10 .

Opgave 6
a

Je kunt op die manier geen variabele elimineren, probeer maar...

b

a + b = 5 wordt (bijvoorbeeld) b = 5 - a .
De andere vergelijking wordt a 2 + ( 5 - a ) 2 = 17 en zonder haakjes 2 a 2 - 10 a + 8 = 0 zodat a = 1 a = 4 .

Bij a = 1 hoort b = 4 en bij a = 4 hoort b = 1 .

Opgave 7
a

Het stelsel wordt

{ y = 3 x + 6 y = 3 x + 5,5

Beide formules horen bij rechte lijnen. Die twee lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt en lopen dus evenwijdig. Ze hebben geen snijpunt, dus het stelsel heeft geen oplossing.

b

Het stelsel wordt

{ y = 3 x + 6 y = 3 x + 6

Beide formules horen bij dezelfde rechte lijn. Er zijn helemaal geen twee verschillende rechte lijnen, dus er valt geen snijpunt te berekenen. Elk punt van de lijn voldoet aan beide formules, daarom zijn er oneindig veel oplossingen.

Opgave 8
a

Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als

{ 3 p + 2 q = 6 3 p + 2 q = 10

Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 0 = - 4 en dat is onwaar. Het is een strijdig stelsel.

Beide formules horen bij rechte lijnen. Die twee lijnen hebben dezelfde richtingscoëfficiënt en lopen dus evenwijdig. Ze hebben geen snijpunt, dus het stelsel heeft geen oplossing.

b

Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als

{ 3 p + 2 q = 6 3 p - 2 q = 10

Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 4 q = - 4 en levert op q = - 1 . Hierbij kun je een waarde voor q berekenen. Dit stelsel heeft precies één combinatie van 2 en q als oplossing.

c

Als je de onderste vergelijking met 2 vermenigvuldigt, dan kun je het stelsel schrijven als

{ 3 p + 2 q = 6 3 p - 2 q = 6

Als je beide vergelijkingen van elkaar aftrekt, krijg je 0 = 0 en dat is altijd waar. Hier heb je twee dezelfde vergelijkingen. Er zijn oneindig veel oplossingen.

Opgave 9
a

Schrijf de onderste vergelijking als y = 2 x + 7 .
Substitutie: 3 x + 2 ( 2 x + 7 ) = 14 geeft x = 0 .
Bij x = 0 hoort y = 7 .

b

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met 2. Het stelsel wordt

{ 2 a + 2 b = - 2 2 a - 2 b = 3

Beide vergelijkingen optellen geeft 4 a = 1 en dus a = 0,25 . En daarbij hoort b = - 1,25 .

c

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 3 en de tweede met 5. Het stelsel wordt

{ 9 p + 15 q = 978 20 p - 15 q = 95

Beide vergelijkingen optellen geeft 7 p = 1073 en dus p = 37 . En daarbij hoort q = 43 .

d

Je kunt de tweede vergelijking herleiden tot y - 2 x = 6 . Beide formules beschrijven samenvallende lijnen. Er zijn oneindig veel oplossingen, namelijk alle punten die voldoen aan y - 2 x = 6 .

e

Schrijf de onderste vergelijking als c = 100 b + 0,99 .
Substitutie: 0,1 ( 100 b + 0,99 ) + b = 99 geeft b = 8,1 .
Bij b = 8,1 hoort c = 81,99 .

f

Schrijf de bovenste vergelijking als x = 28 - y 2 .
Substitutie: 2 y - 3 ( 28 - y 2 ) = 1 geeft (haakjes uitwerken, op 0 herleiden, abc-formule) y = 5 y = - 17 3 .
Bij y = 5 hoort x = 3 en bij y = - 17 3 hoort x = - 37 9 .

Opgave 10

Als p de leeftijd van Pieter op 01-01-2006 en h die van Harry op dat moment voorstelt, dan leiden beide beweringen tot twee vergelijkingen die samen een stelsel vormen:

{ 4 p = h 2 ( p + 6 ) = h + 6

Haakjes uitwerken bij de tweede vergelijking geeft h = 2 p + 6 .
Substitutie in de eerste vergelijking levert 4 p = 2 p + 6 , dus p = 3 . Invullen p = 3 levert p = 12 . Dus in januari 2006 was Harry 3 jaar oud en Pieter 12 jaar oud.

Opgave 11

Als c de prijs van een Cornetto en m de prijs van een Magnum voorstelt, dan vind je:

{ 6 c + 5 m = 22,95 7 c + 10 m = 36,15

De bovenste vergelijking met 2 vermenigvuldigen geeft

{ 12 c + 10 m = 45,90 7 c + 10 m = 36,15

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft 5 c = 9,75 en dus c = 1,95 . Daarbij hoort m = 2,25 .

Opgave 12

Tel de twee onderste vergelijkingen op en je krijgt 5 x = 755 en dus x = 151 . Daarbij hoort y = - 351 .
Beide waarden vul je in de bovenste vergelijking in en je vindt z = 1400 .

Opgave 13

Je haalt uit de tekst het stelsel

{ 10 = U bron - R i 1,5 8 = U bron - R i 3

Trek beide vergelijkingen van elkaar af en je krijgt 2 = 1.5 R i en dus R i = 4 3 ohm. Daarbij hoort U bron = 10 + 1,5 4 3 = 12 ampère.

Opgave 14Tafels
Tafels
a

Neem aan dat d het aantal designtafels en k het aantal klassieke tafels is, dan vind je met behulp van de tabel:

{ 2 d + 3 k = 40 2,5 d + 2 k = 40

b

De bovenste vergelijking vermenigvuldig je (bijvoorbeeld) met 2 en de onderste dan met 3. Dit geeft

{ 4 d + 6 k = 80 7,5 d + 6 k = 120

Trek beide vergelijkingen van elkaar af: 3,5 d = 40 en d 11,4 . Door dit in te vullen vind je k 5,7 .

c

Als je 11 designtafels en 6 klassieke tafels maakt kom je op de schuurafdeling precies uit met de uren en houd je op de lakafdeling een half uur over.
Als je 12 designtafels en 5 klassieke tafels maakt houd je op de schuurafdeling een uur over en kom je op de lakafdeling precies uit met de uren.
De eerste oplossing levert het minste tijdsverlies op.

Opgave 15Stoelen
Stoelen
a

Neem aan dat d het aantal designstoelen en k het aantal klassieke stoelen is, dan vind je met behulp van de tabel:

{ 0,5 d + 1,25 k = 40 0,75 d + k = 40 1,5 d + 0,75 k = 40

b

Je moet nu aan alle drie de voorwaarden voldoen. Teken daartoe de grafieken in één assenstelsel. Je ziet dan dat je om aan alle drie de voorwaarden te kunnen voldoen in de buurt van het snijpunt van de grafieken bij de eerste en de laatste formule moet gaan zitten.

Neem je de eerste en de laatste vergelijking dan krijg je d 13,3 en k 26,7 als oplossing.

Met d = 13 en k = 26 voldoe je aan alle drie de voorwaarden. Alleen houd je op de diverse afdelingen nogal wat tijd over. Op de lakafdeling houd je het meeste tijd over.

Opgave 16
a

`{( x + y, = , 8),(x-2y, =, 0):}` wordt `{( 2x + 2y, = , 16),(x-2y, =, 0):}` .

Beide vergelijkingen optellen `3x=16` .

Oplossing: `x=16/3` en `y=8/3` .

b

Oplossing: `y=26` en `x=text(-)40` .

Opgave 17

Snijpunt `(text(-)3, 9)` .

verder | terug