Stelsels vergelijkingen

Stelsels vergelijkingen > Totaalbeeld

Overzicht

1234Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1

$y = 2 x + 1$ en $y = - 1,5 x + 2,5$ .

$2 x + 1 = - 1,5 x + 2,5$ geeft $3,5 x = 1,5$ en dus $x = \frac{3}{7}$ . Je vindt $S (\frac{3}{7}, \frac{13}{7})$ .

Opgave 2

Schrijf de bovenste vergelijking als $y = - 2 x + 4$ .
Substitutie: $x - (- 2 x + 4) = 5$ geeft $x = 3$ . En hierbij hoort $y = - 2$ .

Schrijf de bovenste vergelijking als $y = 4 x - 3$ .
Substitutie: $6 x - 10 (4 x - 3) + 15 = 0$ geeft $x = \frac{45}{34}$ . En hierbij hoort $y = \frac{39}{17}$ .

Schrijf de tweede vergelijking als $x = y^{2} + 3$ .
Substitutie: $2 (y^{2} + 3) - 4 x = 22$ en dus $y^{2} - 2 y - 8 = (y - 4) (y + 2) = 0$ . Dit geeft $y = 4 \lor y = - 2$ .
Bij $y = 4$ hoort $x = 19$ en bij $y = - 2$ hoort $x = 7$

Opgave 3

Noem de lengte $l$ en de breedte $b$ , dan is $l \cdot b = 188 \land 2 l + 2 b = 102$ .

Herleid de tweede vergelijking tot $l = 51 - b$ en substitueer dit in de eerste vergelijking: $(51 - b) b = 188$ .
Je vindt nu een lengte van $32$ m en een breedte van $19$ m.

Opgave 4

Noem het aantal appels $a$ en het aantal peren $p$ , dan is $a + p = 60 \land 0,45 a + 0,60 p = 30$ .

Herleid de eerste vergelijking tot $p = 60 - a$ en substitueer dit in de tweede vergelijking: $0,45 a + 0,60 (60 - a) = 30$ .
Je vindt nu $a = 40$ .

Opgave 5

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met $200$ en de onderste met $100$ . Je krijgt:

${\begin{matrix} 50 a + 270 b = 400 \\ 50 a - 75 b = 100 \end{matrix}$

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken: $345 b = 300$ geeft $b = \frac{20}{23}$ . En hierbij hoort $a = \frac{76}{23}$ .

Schrijf de onderste vergelijking als $y = 7 x - 1$ .
Substitutie: $4 x + 2 (7 x - 1) = 5$ geeft $x = \frac{7}{18}$ . En hierbij hoort $y = \frac{31}{18}$ .

Schrijf de tweede vergelijking als $x = 0,5 y + 3$ en vermenigvuldig de eerste links en rechts van het isgelijkteken met $30$
Substitutie: $3 (0,5 y + 3) + 10 y = 75$ en dit geeft $y = \frac{132}{23}$ . Hierbij hoort $x = \frac{135}{23}$ .

Opgave 6

Noem het aantal L-mapjes $L$ en het aantal ordners $R$ , dan is $20 L + 5 R = 19,25 \land 30 L + 10 R = 37$ .

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met $2$ tot $p = 60 - a$ en trek beide vergelijkingen van elkaar af: $10 L = 1,50$ .
Je vindt nu $L = 0,15$ .

Opgave 7

De grafiek van het straalvliegtuig is een rechte lijn door $(10, 5900)$ en $(14, 2700)$ .
De grafiek van het propellorvliegtuig is een rechte lijn door $(10,75; 0)$ en $(14,75; 1200)$ .

Straalvliegtuig: $d = 13900 - 800 t$ .
Propellorvliegtuig: $d = - 3225 + 300 t$ .

$13900 - 800 t = 300 t - 3225$ geeft $t = 17125 / 1100 \approx 15,568$ .
Ze passeren elkaar om 15:34 uur.

Opgave 8

Schrijf de eerste vergelijking als $x = 1 - 2 y$ .
Substitutie geeft $2 (1 - 2 y) + 3 y - 1 = 0$ en dus $y = 1$ . Hierbij hoort $x = 3$ .

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met $7$ en de onderste met $2$ en zet alle termen op de juiste wijze onder elkaar. Je krijgt dan

${\begin{matrix} 28 x - 49 y = - 35 \\ 28 x + 16 y = 30 \end{matrix}$

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft $65 y = 65$ en dus dus $y = 1$ . Hierbij hoort $x = 0,5$ .

Schrijf de eerste vergelijking als $a = 2,5 b$ .
Substitutie geeft $12,5 b = 4 b + 1$ en dus $b = \frac{2}{17}$ . Hierbij hoort $a = \frac{5}{17}$ .

Vermenigvuldig de bovenste vergelijking met $12$ en de onderste met $18$ . Je krijgt dan

${\begin{matrix} 6 p - 4 q = 120 \\ 6 p + 9 q = 198 \end{matrix}$

Beide vergelijkingen van elkaar aftrekken geeft $13 q = 78$ en dus dus $q = 6$ . Hierbij hoort $p = 24$ .

Schrijf de tweede vergelijking als $a = 5 - b$ .
Substitutie geeft ${(5 - b)}^{2} + b^{2} = 13$ en dus $b = 6 \lor b = - 1$ .
Bij $b = 6$ hoort $a = - 1$ en bij $b = - 1$ hoort $a = 6$ .

Schrijf de tweede vergelijking als $y = 2 x$ .
Substitutie geeft $2 x^{2} = 36$ en dus $x = \pm \sqrt{18} = \pm 3 \sqrt{2}$ .
Bij $x = 3 \sqrt{2}$ hoort $y = 6 \sqrt{2}$ en bij $x = - 3 \sqrt{2}$ hoort $y = - 6 \sqrt{2}$ .

Opgave 9

Als je de gegevens in de formule voor de snelheid stopt dan vind je $10 = v_{0} + 2 a \land 24 = v_{0} + 5 a$ .
Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft $a = \frac{14}{3}$ en $v_{0} = \frac{2}{3}$ .

De beginsnelheid is $\frac{2}{3}$ m/s.

Opgave 10

Herleid de tweede vergelijking tot $a = 5 - 0,5 p$ .
Substitutie: $H = 12 - 3 (5 - 0,5 p) = 1,5 p - 3$ .

Herleid de tweede vergelijking tot $a = 20 - 0,1 p$ .
Substitutie: $H = p (20 - 0,1 p)$ .

Opgave 11

Noem het aantal kleinere vrachtwagens $k$ en het aantal grote vrachtwagens $g$ . Dan vind je $20 k + 50 g = 1000 \land k + 2 g = 44$ .
Dit stelsel vergelijkingen oplossen geeft $k = 20$ en $g = 12$ .

Er worden $20$ grote vrachtwagens aangeschaft.

Opgave 12

De opbrengst per maand is $T O = p \cdot q$ en na substitutie van de gegeven formule dus $T O = p \cdot (38000 - 250 p)$ .
De winst is daarom $T W = (p - 80) \cdot (38000 - 250 p)$ .
De winst is $0$ als $p = 80 \lor p = 152$ en de winst is dus maximaal als $p = 116$ .

Opgave 13Drie vergelijkingen met drie onbekenden (1)

Drie vergelijkingen met drie onbekenden (1)

Vermenigvuldig de bovenste met $2$ en tel ze bij elkaar op. Je krijgt $6 x + y = 3$ .

Vermenigvuldig de bovenste met $3$ en tel ze bij elkaar op. Je krijgt $4 x - 2 y = - 2$ .

Je hebt nu:

${\begin{matrix} 6 x + y = 3 \\ 4 x - 2 y = - 2 \end{matrix}$

De oplossing van dit stelsel is $x = 0,25$ en $y = 1,5$ .

Je vindt $z = 1,25$ .

Opgave 14Drie vergelijkingen met drie onbekenden (2)

Drie vergelijkingen met drie onbekenden (2)

Onderste en bovenste vergelijking van elkaar aftrekken: $2 y + 3 z = 1$ .
Middelste vergelijking met $3$ vermenigvuldigen en van bovenste aftrekken en vereenvoudigen: $y + z = 1$ .
Dit stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden verder oplossen geeft $z = - 1$ en $y = 2$ . En deze waarden invullen in één van de drie gegeven vergelijkingen geeft $x = 2$ .

Bovenste vergelijking heeft alleen $x$ en $z$ als onbekenden.
Onderste twee vergelijkingen optellen: $3 x - 2 z = - 7$ .
Je hebt nu een stelsel van twee vergelijkingen met $x$ en $z$ als onbekenden. Dit oplossen geeft $x = - 1$ en $z = 2$ . En deze waarden invullen in één van de drie gegeven vergelijkingen geeft $y = 3$ .

Je hebt $u$ uitgedrukt in $v$ en $w$ uitgedrukt in $v$ . Deze uitdrukkingen substitueer je in de derde vergelijking: $3 v + 3 = - 1,5$ zodat $v = - 1,5$ . En dan is $u = - 1$ en $w = 1$ .

Bovenste twee vergelijkingen van elkaar aftrekken: $p - r = - 2$ .
Onderste twee vergelijkingen optellen: $p + 2 r = 16$ .
Deze twee vergelijkingen van elkaar aftrekken: $3 r = 18$ geeft $r = 6$ . Daarbij hoort $p = 4$ . En dan vind je $q = 0$ .

Opgave 15Parabool door drie punten

Parabool door drie punten

${\begin{matrix} 0 = 4 a + 2 b + c \\ 3 = c \\ 8 = 4 a - 2 b + c \end{matrix}$

Je hebt al meteen $c = 3$ . Dit invullen in de andere twee vergelijkingen geeft:

${\begin{matrix} 4 a + 2 b + 3 = 0 \\ 4 a - 2 b + 3 = 8 \end{matrix}$

Beide vergelijkingen optellen geeft $a = 0,25$ en daaruit vind je $b = - 2$ .

De formule wordt $y = 0,25 x^{2} - 2 x + 3$ .
Met behulp van kwadraat afsplitsen of met behulp van $x_{top} = - \frac{b}{2 a}$ vind je de top $T (4, - 1)$ van deze dalparabool.

Ga weer uit van $y = a x^{2} + b x + c$ en stel een stelsel van drie vergelijkingen met onbekenden $a$ , $b$ en $c$ op. Los dit stelsel op en je vindt $y = 0,25 x^{2} - 0,5 x + 0,75$ . De top van deze dalparabool is $T (1; 0,5)$ .

Opgave 16Eiwitten, vetten en koolhydraten

Eiwitten, vetten en koolhydraten

Noem het aantal kcal per gram eiwit $e$ , per gram vet $v$ en per gram koolhydraten $k$ gram. Stel nu drie vergelijkingen met deze drie onbekenden op. (Je kunt er wel vier opstellen, die vierde is niet nodig voor de berekening, maar wel een mooie controle.)
Los vervolgens het stelsel op.
Je zou moeten vinden: in $1$ gram vet zitten $9$ kcal, in $1$ gram koolhydraten zitten $4$ kcal en in $1$ gram eiwit zitten $4$ kcal.

verder | terug