Rijen > Verschilrijen en somrijen
123456Verschilrijen en somrijen

Voorbeeld 3

De beroemde rij van Fibonacci is: `1` , `1` , `2` , `3` , `5` , `8` , `13` , `21` , `34` , ...
Wat valt je op als je de bijbehorende verschilrij bekijkt?
Bereken de som van de eerste `100` termen van de rij van Fibonacci.

> antwoord

De verschilrij is: `0` , `1` , `1` , `2` , `3` , `5` , `8` , `13` , `21` , ...
Behalve de eerste term is de verschilrij gelijk aan de rij zelf, alleen de nummering verschuift met `2` . (Denk er om dat er geen nulde term is bij de verschilrij!)
Noem nu de termen van de rij van Fibonacci `f(n)` met `n=0 ,1 ,2 ,...`
Dan is dus de verschilrij: `∆ f(n)=f(n)-f(n-1 )=f(n-2 )` .
De rij van Fibonacci heeft daarom als recursieformule:
`f(n)=f(n-1 )+f(n-2 )` met `f(0 )=1` en `f(1 )=1` .

Nu kun je de rij in de grafische rekenmachine invoeren en de som van de eerste `100` termen laten berekenen door de machine. (Het kost wat rekentijd...)

Opgave 5

In Voorbeeld 3 maak je kennis met de rij van Fibonacci. Je zult er later nog toepassingen van tegenkomen.

a

Stel zelf de recursieformule van deze rij op.

b

Bereken nu met je grafische rekenmachine de som van de eerste `20` termen van de rij van Fibonacci.

Opgave 6

Gegeven is de rij `t(i)=5 i+2` voor `i≥0` .

a

Stel een formule op voor de verschilrij `V(i)` .

b

Bereken `sum_(i=0)^(5) t(i)` . Is dit nu de vierde, vijfde of de zesde term van de somrij `S(i)` ? Is het `S(4 )` , `S(5 )` of `S(6 )` ?

c

Welke termen van `t(i)` moet je optellen om `sum_(i=2)^(5) t(i)` te berekenen? Waarom is dit gelijk aan `S(5 )-S(1 )` ?

verder | terug