Rijen > Verschilrijen en somrijenVoorbeeld 3
De beroemde rij van Fibonacci is:
`1`
,
`1`
,
`2`
,
`3`
,
`5`
,
`8`
,
`13`
,
`21`
,
`34`
, ...
Wat valt je op als je de bijbehorende verschilrij bekijkt?
Bereken de som van de eerste
`100`
termen van de rij van Fibonacci.
De verschilrij is:
`0`
,
`1`
,
`1`
,
`2`
,
`3`
,
`5`
,
`8`
,
`13`
,
`21`
, ...
Behalve de eerste term is de verschilrij gelijk aan de rij zelf, alleen de nummering
verschuift met
`2`
. (Denk er om dat er geen nulde term is bij de verschilrij!)
Noem nu de termen van de rij van Fibonacci
`f(n)`
met
`n = 0 , 1 , 2 , ...`
Dan is dus de verschilrij:
`∆ f(n) = f(n) - f(n-1) = f(n-2)`
.
De rij van Fibonacci heeft daarom als recursieformule:
`f(n) = f(n-1) + f(n-2)`
met
`f(0) = 1`
en
`f(1) = 1`
.
Nu kun je de rij in de grafische rekenmachine invoeren en de som van de eerste `100` termen laten berekenen door de machine. (Het kost wat rekentijd...)
|
|
|
|
In
Stel zelf de recursieformule van deze rij op.
Bereken nu met je grafische rekenmachine de som van de eerste `20` termen van de rij van Fibonacci.
Gegeven is de rij `t(i) = 5i + 2` voor `i ge 0` .
Stel een formule op voor de verschilrij `V(i)` .
Bereken `sum_(i = 0)^(5) t(i)` . Is dit nu de vierde, vijfde of de zesde term van de somrij `S(i)` ? Is het `S(4)` , `S(5)` of `S(6)` ?
Welke termen van `t(i)` moet je optellen om `sum_(i=2)^(5) t(i)` te berekenen? Waarom is dit gelijk aan `S(5) - S(1)` ?