Probeer zelf een goede recursieformule te bedenken. Bekijk verder de
Denk aan de somformule voor een meetkundige rij.
Bekijk verder de
Discreet omdat het over vaste tijdstappen gaat en dynamisch omdat er sprake is van een verandering in de tijd.
`K(t) = 1240*1,005^t + 50 * (1 - 1,005^t)/(1 - 1,005) = 1240*1,005^t - 10000(1 - 1,005^t) = ` `11240*1,005^t - 10000`
`B(t)`
is het aantal bomen op dit perceel afhankelijk van de tijd
`t`
in jaren.
`B(t) = B(t-1)*0,85 + 1000`
, met
`t = 1, 2, 3, 4, ...`
Zie de tabel bij a. Als je deze tabel en de grafiek bekijkt, lijkt de `7000` bomen niet gehaald te worden.
`K(t) = 1,12 * K(t-1)+1500` met `K(0) = 1500` .
Gebruik de GR voor het maken van de tijdgrafiek.
Het saldo gaat snel omhoog.
Na `7` jaar staat er € 18449,54. Na `8` jaar staat er € 22163,48. Dus na `8` jaar is het kapitaal meer dan € 20000,00.
Er blijft jaarlijks `100 - 18 = 82` % van de bomen over en er worden telkens `1000` nieuwe aangeplant.
Voer de formule in zoals in het voorbeeld.
`B(t) = 5000*0,82^t + 1000*0,82^(t-1) + 1000*0,82^(t-2) + ... + 1000 = `
`5000*0,82^t + 1000*(1 - 0,82^1)/(1 - 0,82)`
Dit geeft
`B(t) = 5000*0,82^t + 5555 5/9 (1 - 0,82^t) = 5555 5/9 - 555 5/9*0,82^t`
.
Als `t` oneindig groot wordt, dan wordt `0,82^t ~~ 0` .
Voer in `u(n) = 0,002*(1200 - u(n-1))*u(n-1)` met `u(0) = 100` .
Neem als venster `0 le x le 20` (voor de waarden van `t` ) en `0 le y le 1500` .
Loop over de grafiek of bekijk de tabel, de grenswaarde lijkt ongeveer `700` te worden.
Je krijgt:
`D(t) = 0,75 * D(t-1) + 0,32 * L(t-1)`
`L(t) = 0,25 * D(t-1) + 0,68 * L(t-1)`
Neem als venster `0 le x le 10` (de `t` -as) en `0 le y le 10` .
Gebruik je GR. Ongeveer `56` %.
Voer de formule in je GR in met venster bijvoorbeeld `0 le x le 40` bij `0 le y le 100` .
`u(n) = 100*0,6^t + 20*(1-0,6^t)/(1-0,6) = 50 + 50*0,6^t` .
Als `t` heel groot wordt, wordt `0,6^t ~~ 0` . Dus `u(t)` wordt uiteindelijk ongeveer `50` .
Neem `n` in maanden. De rente is `5` % per jaar, dat is `0,41` % per maand. Dus `S_n = 1,0041*S_(n-1) - 2500` met `S_0 = 500000` .
Gebruik je GR. Het saldo neemt langzaam af.
Na `419` maanden heb je nog € 250,27 over en kun je dus geen `2500` euro meer opnemen. Dat is meer dan `34` jaar.
`S_n = 500000*1,0041^n - (2500*1,0041^(n-1) + 2500*1,0041^(n-2) + ... + 2500 )=`
`= 500000*1,0041^n - 2500 * (1 - 1,0041^n)/(1 - 1,0041) ≈ 609756 - 109756*1,0041^n`
.
`K(t) = 1,05 * K(t-1)` met `K(0) = 2000` .
`K(t) = 2000 * 1,05^t` .
Na `15` jaar.
De toename is recht evenredig met het temperatuurverschil. Dus: `T(t+1) - T(t) = c*(20 - T(t))` .
Na `26` minuten is het verschil minder dan `1` °C.
De grenswaarde vind je als `T(t+1) ≈ T(t)` , dus als (zie a): `20 - T(t) ≈ 0` . Dit betekent `T(t) = 20` als grenswaarde.
Een stijging van `90` % betekent een groeifactor van `1,90` . Dus `A(t)=1,90 *A(t-1 )` met `A(0 )=3000` .
De groeifactor is groter dan `1` . De groei blijft steeds toenemen.
Gebruik je GR, neem als venster bijvoorbeeld `0 le x le 20` bij `0 le y le 50000` .
Bekijk de tabel. Uiteindelijk zal men op `47500` abonnees uitkomen.
Neem `n` in maanden. `6` % per jaar betekent een groeifactor van ongeveer `1,0049` per maand. Dus `S_t = 1,0049 *S_(t-1) - 1500` met `S_0 = 1000000` .
Nee, de rij blijft groeien.
`S_t ≈ 1308163,21 * 1,0049^t - 308163,21` . (Afhankelijk van afronding.)
Ja, de toenames worden kleiner naarmate `N_t` groter wordt.
`ΔN_t = N_(t+1) - N_t = c*(5000 - N_t)` , geeft `N_(t+1) = 5000c + (1 - c)*N_t` .
`c = 0,15`
Maak een tabel bij de differentievergelijking en bekijk de groei per jaar. Je ziet dat vanaf het begin ieder jaar er minder meervallen bijkomen.