Rijen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Antwoorden van de opgaven

Opgave 1
a

Directe formule: u ( n ) = 7 2 n met n = 0 , 1 , 2 , 3 , ...
Recursieformule: u ( n ) = u ( n - 1 ) 2 met u ( 0 ) = 7 .

b

Directe formule: u ( n ) = 3 n + 5 met n = 0 , 1 , 2 , 3 , ...
Recursieformule: u ( n ) = u ( n - 1 ) + 3 met u ( 0 ) = 5 .

Opgave 2
a

De rij bij b, want daarvan is elke term (behalve de eerste) steeds 3 groter dan zijn voorganger.

b

Gebruik de somformule voor een rekenkundige rij: 1 2 50 ( 5 + 152 ) = 3925 .

c

Dit is een meetkundige rij omdat elke term (behalve de eerste) steeds 2 keer zo groot is dan zijn voorganger.

d

Gebruik de somformule voor een meetkundige rij: S ( 49 ) = 7 1 - 2 50 1 - 2 = 7 ( 2 50 - 1 ) .

Opgave 3

De maatschappij heeft aan Kees verdient:
100 1,09 ( 16 ) + 100 1,09 ( 15 ) + ... + 100 1,09 + 100 = 100 ( 1 - 1,09 ( 17 ) ) ( 1 - 1,09 ) 3697,37 .
Omdat ze daarvan 3500 euro kwijt zijn, hebben ze winst gemaakt op deze verzekering.

Opgave 4
a

Eigen antwoord waarin in ieder geval moet voorkomen 1,072 1 12 1,0058 .

b

n = 12 geeft: S ( 12 ) = 1,0058 12 100000 - 1 - 1,0058 12 1 - 1,0058 2000 82405,78 euro.

c

Het kapitaal is op als: 1,0058 n 100000 = ( 1,0058 n - 1 + 1,0058 n - 2 + ... + 1,0058 + 1 ) 2000 .
Dat is het geval als: 1,0058 n 100000 = 1 - 1,0058 n 1 - 1,0058 2000 .
Deze vergelijking kun je algebraïsch of met de GR oplossen.
Algebraïsch: 1,0058 n 50 - 0,0058 = 1 - 1,0058 n , dus 0,29 1,0058 n = 1 en 1,0058 n 3,4483 .
Met behulp van logaritmen vind je: n 214,04 .
Na 214 maanden is het kapitaal ontoereikend om nog een keer een opname te doen. Er is dan echter nog wel een klein restsaldo over, dus helemaal op is het niet, vandaar de aanhalingstekens.

Opgave 5
a

2 210 = 296 , 9849 297 .

b

A3: 420  mm bij 297  mm en 2 297 = 420,0214 420 .

c

De lengte is dan b , de breedte is 1 2 b 2 . En b : 1 2 b 2 = 1 : 1 2 2 = 2 : 1 .

d

1,189 × 0,841 = 0,999949 1 m2.

e

Recursieformule l ( n + 1 ) = 1 2 l n met l 0 = 1,189 en directe formule l n = 1.189 ( 1 2 ) n met n = 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ...

f

Laat O n de oppervlakte in m2 zijn van A n . O 0 = 1 , O 1 = 1 2 , dat geeft de rij 1 , 1 2 , 1 4 , 1 8 , ...
De recursieformule voor de oppervlakte is dus O ( n + 1 ) = 1 2 O n met O 0 = 1 . De directe formule is O ( n ) = ( 1 2 ) n voor n 0 .

g

Lengte is a 2 en breedte is a , dus de oppervlakte is a 2 2 = 1 , oftwel a 2 = 1 2 en a 0,84089 . Dat geeft een breedte van 841  mm en een lengte van 1189  mm.

Opgave 6
a

De beginhoeveelheid is 100. Als er 4% ontsnapt is er nog 96% aanwezig, dus de directe formule is H ( n ) = 100 0,96 n .

b

Na n - 1 uur is er nog 100 0,96 n - 1 aanwezig en na n uur nog 100 0,96 n . Er is 100 0,96 n - 1 - 100 0,96 n = 4 0,96 n - 1 ontsnapt in het n -de uur.

c

Volgens de formule bij a is uitgestroomd: 100 - 100 0,96 n m3 gas.
Volgens de formule bij b is uitgestroomd 4 + 4 0 , 96 + 4 0,96 2 + ... + 4 0,96 ( n - 1 ) = 4 ( 1 - 0,96 n ) ( 1 - 0 , 96 ) = 100 ( 1 - 0,96 n ) m3 gas.
Dat is evenveel.

Opgave 7
a

50 + 100 + 150 + ... + 850 = 7650 euro.

b

350 + 350 1 , 03 + 350 1,03 2 + ... + 350 1,03 ( 16 ) 7616,56 euro.

c

50 1,03 16 + 100 1,03 15 + ... + 800 1,03 1 + 850 . Dit is geen rekenkundige of meetkundige rij; gewoon rekenen dus: € 8174,06.

Opgave 8
a

Daling per minuut is T t + 1 - T t = c ( T t - 20 ) .

b

T t + 1 = T t - 0,05 ( T t - 20 ) invoeren in de GR. De rij nadert T = 20 .

c

Als er een grenswaarde T is, dan wordt op den duur T t + 1 = T t = T en dus T = T - 0,05 ( T - 20 ) . Dit levert op T = 20 .

d

Na 26 minuten is het verschil minder dan 1°C.

Opgave 9Varkenscyclus
Varkenscyclus
a

q A = p ( t 1 ) 15 : de aangeboden hoeveelheid hangt af van de prijs van de voorgaande periode van 0,5 jaar.
q V = 400 1 , 5 p ( t ) : de gevraagde hoeveelheid hangt af van de actuele prijs in de huidige periode.

b

t - 1 gaat over de voorgaande periode van 0,5 jaar. De stappen in dit model zijn tijdstappen van 0,5 jaar.

c

p = 166 .

d

400 - 1 , 5 p ( t ) = p ( t - 1 ) - 15 geeft p ( t ) = 276 2 3 - 2 3 p ( t - 1 ) . En ook hieruit volgt de evenwichtsprijs van 166 euro.

Opgave 10Prooidier-roofdier modellen
Prooidier-roofdier modellen

Eigen antwoord.

Opgave 11Ureum-gehalte
Ureum-gehalte
a

Dag 1: 500 g ureum in het water. 3% eraf geeft 500 - 15 = 485 g.
Dag 2: 485 + 500 = 985 . 3% eraf geeft 955 g.
Dag 3: 955 + 500 = 1455,455 . 3% eraf geeft 1412 g.
Dag 4: 1412 + 500 = 1912 . 3% eraf geeft 1854 g.
Dag 5: 1854 + 500 = 2354 . 3% eraf, geeft ..., enzovoort.
Bij het begin van de derde dag is er 955 g.

b

Gedurende de vijfde dag komt het ureumgehalte boven de wettelijke norm van 2 g per m3.

c

In de loop van de dag komt er 500 g bij en 's nachts verdwijnt 20% van de totale hoeveelheid.
Je houdt 80% over. Dus U n = 0,80 ( U n - 1 + 500 ) = 0,8 U n - 1 + 400 .

d

Schrijf de recursieformule uit en gebruik de somformule voor een meetkumdige rij.

e

2500 0,8 n > 0 voor elke n 0 . Dus U n blijft altijd kleiner dan 2000.

f

Bij het begin van de achtste dag is er 1580,5696 g ureum aanwezig. In de loop van die dag komt er 500 g bij. Een gedeelte van de achtste dag is het ureumgehalte boven de wettelijke norm van 2000 g.

(bron: examen wiskunde A havo van voor 1990)

Opgave 12Nationaal inkomen
Nationaal inkomen
a

Met s = 0,3 en k = 2 vind je S t = 0,3 Y t en K t = 2 Y t .
K t + 1 - K t = I t = S t = 0,3 Y t = 0,3 0,5 K t en hieruit volgt het gestelde.

b

Omdat Y t > 1000 moet K t > 2000 . Maak met de rekenmachine een tabel bij de differentievergelijking uit a. Je vindt bij K 16 1871,5 en K 17 2152,2 . Dus voor t = 17 .

c

Als s kleiner wordt dan wordt I t = S t ook kleiner. Als S t kleiner wordt dan wordt Δ K t ook kleiner. Als Δ K t kleiner wordt dan neemt de groei van het nationaal inkomen af.
Je kunt ook zo redeneren:
Uit Δ K t = s n Y t volgt dat bij het kleiner worden van s ook Δ K t afneemt, etc.

(bron: voorbeeldexamen vwo wiskunde A1,2 uit 1998)

verder | terug