Rijen

Rijen > Totaalbeeld

123456Totaalbeeld

Toepassen

Opgave 9Varkenscyclus

Varkenscyclus

In de economie is de varkenscyclus een bekend dynamisch vraag-en-aanbodmodel. Op de varkensmarkt kunnen de aanbieders van varkens namelijk niet onmiddellijk reageren op een prijsverandering omdat het vetmesten van varkens tijd kost.
De volgende modelaannames worden gehanteerd:

Bij een lage prijs van varkensvlees wordt het aantal aanbieders kleiner, bij een hoge prijs juist groter.
Bij een laag aanbod van varkensvlees wordt de prijs hoger, bij een hoog aanbod wordt de prijs juist lager.
Het vetmesten van een varken duurt ongeveer $0,5$ jaar.

Nu kan de vrager onmiddellijk reageren op elke prijsverandering, maar de aanbieder niet want meer vlees aanbieden betekent meer varkens vetmesten en dat kost tijd.
Noem de prijs $p$ , de aangeboden hoeveelheid $q_{A}$ en de gevraagde hoeveelheid $q_{V}$ .
Een mogelijk stelsel modelformules is dan: $q_{A} (t) = p (t - 1) - 15$ en $q_{V} (t) = 400 - 1,5 p (t)$ .
Hierin is $t$ de tijd in stappen van $0,5$ jaar.
In het Excel bestand Model varkenscyclus zie je wat de computer er van maakt. Je ziet dat de rij getallen $p (t)$ naar een evenwichtsprijs nadert.

Leg uit dat de gegeven modelformules in overeenstemming zijn met de aannames.

Waar vind je de periode van $0,5$ jaar (nodig voor het vetmesten van een varken) terug?

Welke evenwichtsprijs levert het model op?

Stel een differentievergelijking op voor de rij $p (t)$ er van uitgaande dat vraag en aanbod elkaar in evenwicht houden.

Opgave 10Prooidier-roofdier modellen

Prooidier-roofdier modellen

In veel natuurgebieden is er sprake van een wisselwerking tussen de roofdieren en hun prooi, zoals vossen en konijnen. Modellen die zo’n wisselwerking bestuderen heten prooi-roofdiermodellen. De Italiaanse wiskunde Vito Volterra en de Amerikaanse wiskundige Alfred J. Lotka ontwierpen in 1925/1926 een dynamisch model voor dergelijke wisselwerkingen. Als $P (t)$ het aantal prooidieren en $R (t)$ het aantal roofdieren op tijdstip $t$ is, zien hun vergelijkingen er in discrete vorm zo uit:

$P (t) = P (t - 1) \cdot (a - b \cdot R (t - 1))$
$R (t) = - R (t - 1) \cdot (c - d \cdot P (t - 1))$

Hierin zijn $a$ , $b$ , $c$ en $d$ positieve getallen. Bekijk maar eens met behulp van een rekenblad in Excel of je grafische rekenmachine hoe dit model zich gedraagt.

De eerste vergelijking laat zien dat de prooidieren bij afwezigheid van de roofdieren ( $b = 0$ ) exponentieel toenemen. De uitdrukking $a - b \cdot R (t - 1)$ laat echter zien, dat de groeifactor vermindert afhankelijk van het aantal roofdieren $R$ dat een periode eerder op ze heeft kunnen jagen.
De vergelijking voor de roofdieren kent een vergelijkbare interpretatie.

Kies waarden voor $a$ , $b$ , $c$ en $d$ en reken een prooi-roofdiermodel door. Onderzoek wat er of er een evenwichtssituatie ontstaat waarin de aantallen stabiliseren. Het beste kun je een rekenblad in Excel maken waarin deze vier parameters instelbaar zijn zodat je wat realistische resultaten krijgt...
Tegenwoordig bestaan er diverse aangepaste prooi-roofdiermodellen en animaties ervan op internet. Bekijk bijvoorbeeld dit artikel uit de Scholarpedia.

verder | terug