Rijen > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 11Ureum-gehalte
Ureum-gehalte

De kwaliteit van het water in zwembaden wordt onder andere beoordeeld op grond van het ureumgehalte. Ureum komt in het water via zweet en urine. Metingen hebben aangetoond dat bij 1000 bezoekers per dag de hoeveelheid ureum in het water op die dag met 500 g toeneemt. Om te voorkomen dat er te veel ureum in het water komt, moet er zo ververst worden dat de wettelijke norm van 2 g ureum per m3 water niet overschreden wordt. In een model gaan we er van uit dat dagelijks 1000 bezoekers een bad van 1000 m3 bezoeken en dat de verversing van het water ’s nachts plaatsvindt. Voor verversing rekent men 30 liter per persoon per dag. Dat betekent in dit model dat ’s nachts 30 m3 ververst wordt (dus 3% van het totaal). We beginnen de eerste dag met 0 g ureum in het water. Aan het eind van de dag zit er 500 g ureum in het water. Na het verversen is er dan aan het begin van de tweede dag 485 g ureum over.

a

Laat door berekening zien dat er aan het begin van de derde dag ruim 955 g ureum in het water zit.

b

In de loop van welke dag wordt de wettelijke norm overschreden? Licht je antwoord toe.

Het blijkt dat 30 liter per bezoeker per dag verversen niet voldoende is. In plaats van 30 liter wordt daarom 200 liter genomen.

c

Toon aan dat voor de hoeveelheid ureum (notatie U n ) aan het begin van de n de dag dag geldt U n = 0,8 U n - 1 + 400 .

Stel je voor dat het water 0 g ureum aan het begin van de eerste dag bevat.

d

Toon aan dat de hoeveelheid ureum in gram aan het begin van de n de dag rechtstreeks kan worden berekend met de formule: U n = 2000 - 2500 ( 0 , 8 ) n .

e

Leg met behulp van deze formule uit dat aan het begin van elke dag aan de wettelijke norm wordt voldaan.

f

In de loop van de dag kan de wettelijke norm wel worden overschreden. Bereken op welke dag dat voor het eerst gebeurt.

(bron: examen wiskunde A havo van voor 1990)

Opgave 12Nationaal inkomen
Nationaal inkomen

In de afgelopen 20 jaar is het wereldinkomen (het totale inkomen van alle mensen samen) sneller gegroeid dan de wereldbevolking. Dat betekent dat het gemiddeld inkomen per hoofd van de bevolking is gestegen. In de theorie van de economische groei spelen de kapitaalgoederen een belangrijke rol. Bij kapitaalgoederen kun je bijvoorbeeld denken aan machines. De kapitaalgoederen hebben een grote invloed op de productie. Hier zie je een eenvoudig model voor economische groei:

  • I t = S t .
    I t zijn investeringen in jaar t ; S t zijn besparingen in jaar t . De investeringen zijn steeds gelijk aan de besparingen.

  • I t = K t + 1 - K t .
    K t is hoeveelheid kapitaalgoederen in jaar t . De investeringen leiden uitsluitend tot uitbreiding van de kapitaalgoederen.

  • S t = s Y t .
    Y t is het nationaal inkomen in jaar t . De besparingen zijn steeds een vast gedeelte van het nationaal inkomen; s heet de spaarquote.

  • K t = k Y t .
    De hoeveelheid kapitaalgoederen is gelijk aan k keer de productiecapaciteit. Omdat wordt aangenomen dat de productiecapaciteit volledig worden benut, is de productiecapaciteit gelijk aan het nationaal inkomen; k heet de kapitaalcoëfficiënt.

Kies s = 0,3 , k = 2 en K 0 = 200 . Alle bedragen zijn steeds in miljoenen dollars.

a

Toon aan dat volgens het model geldt: K t + 1 = 1,15 K t .

b

Voor welke t geldt dat het nationaal inkomen Y t voor het eerst boven de 1 miljard dollar komt? Licht je antwoord toe.

De spaarquote en de kapitaalcoëfficiënt bepalen de groei van het nationaal inkomen. Ontwikkelingslanden hebben lage gemiddelde inkomens en kunnen nauwelijks sparen: s is laag. In de figuur zie je dat dit leidt tot een vicieuze cirkel van armoede.

c

Toon aan dat ook volgens het model geldt: als s afneemt, dan neemt de groei van het nationaal inkomen af.

(bron: voorbeeldexamen vwo wiskunde A1,2 uit 1998)

verder | terug