Exponentiële functies > Reële exponentenVoorbeeld 3
De ouderdom van hele oude voorwerpen wordt bepaald met de zogenaamde C14-methode. C14 is een bepaalde variant van koolstof, een stof die in levende wezens voorkomt en dus ook in mummies, oude houten en leren voorwerpen, en dergelijke. Deze variant neemt exponentieel af nadat een levend wezen is gestorven. Voor dat moment is de concentratie C14 gelijk aan die in onze atmosfeer, na die tijd wordt die concentratie kleiner. De tijd waarin de concentratie gehalveerd is noem je de halveringstijd. De halveringstijd van deze stof is nauwkeurig bekend, namelijk `5736` jaar.
Meer hierover in het artikel C14-datering in de Wikipedia.
Stel dat bij een bepaalde mummie de concentratie C14 is afgenomen met `40` %. Er is dan dus nog `60` % van de oorspronkelijke concentratie over. Hoe bereken je nu de leeftijd van die mummie?
De halveringstijd is
`5736`
jaar. Stel dat de concentratie C14 op een bepaald moment
`c`
is, dan is die concentratie in
`5736`
jaar gehalveerd tot
`0,5c`
. Omdat de hoeveelheid C14 exponentieel afneemt geldt
`0,5c=c*g^5736`
, waarin
`g`
de groeifactor per jaar is.
Deze vergelijking kun je herleiden tot
`g^5736=(0,5c)/c`
en dus geldt
`g^5736 = 0,5`
.
Hieruit bereken je de groeifactor per jaar: `g = root [5736] ( 0,5 ) ≈ 0,999879` . Als `t` de leeftijd van de mummie is moet gelden `0,999879^t = 0,6` . Deze exponentiële vergelijking los je op met de grafische rekenmachine. Je vindt `t ≈ 4221` . De mummie is ongeveer `4221` jaar oud.
|
|
|
|
Uit dit voorbeeld blijkt dat je voor het rekenen met halveringstijd geen hoeveelheden nodig hebt. In het algemeen geldt `g^t=0,5` . Dit is op vergelijkbare wijze ook van toepassing bij verdubbelingstijd: de tijd waarin een hoeveelheid is verdubbeld. Er geldt dan in het algemeen `g^t=2` .
In
Bereken de groeifactor per eeuw. Rond je antwoord af op drie decimalen.
Bereken met behulp hiervan de leeftijd van een oud gebruiksvoorwerp waarvan de concentratie C14 `38` % is.