`y_1 = text(-)3 * 0,5^x + 1`
`y_2 = text(-)3 * 0,25^x - 4`
`f_1 ( x ) = 3 * 2^x + 1`
Door herschaling in de `y` -richting met factor `3` en een verschuiving van `1` in de `y` -richting.
`f_2 ( x ) = 3 * ( 1/2 ) ^x - 1` . Ontstaat uit `y = ( 1/2 ) ^x` . Herschalen in de `y` -richting met factor `3` en verschuiven met `text(-)1` in de `y` -richting.
`f_3 (x) = text(-)10 * 1,5^x + 100` .
Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 le x le 8` en `text(-)10 le y le 100` .
`f(x) = 3 * (1/2)^x - 12`
Ontstaat uit `y = ( 1/2 ) ^x` door herschaling in de `y` -richting met factor `3` en door een verschuiving van `text(-)12` in de `y` -richting.
`( text(-)2 , 0 )`
`3 * (1/2)^x - 12 = 0` geeft `(1/2)^x = 4 = (1/2)^(text(-)2)` en dus `x = text(-) 2` .
Nulpunt is `x=3` .
`60 * 2^x - 480 = 0` geeft `2^x = 480/60 = 8 = 2^3` , dus het nulpunt is `x=3` .
Met `1/2` vermenigvuldigen in de `y` -richting.
Met `1/2` vemenigvuldigen in de `y` -richting en dan `5` eenheden naar beneden schuiven.
Als `x` hele grote waarden aanneemt, benadert `(1/3)^x` het getal `0` .
Dus dan nadert `h(x)` het getal `text(-)5` .
Alle waarden boven `text(-)5` .
`1/2 * (1/3)^x - 5 = 10`
geeft
`(1/3)^x = 30`
.
Gebruik verder de GR om deze vergelijking op te lossen:
`x ≈ text(-)3,096`
.
`x < text(-)3,096`
`f(x) = 2 * 2^x * 2^1 - 1 = 4 * 2^x - 1`
Herschalen in de `y` -richting met factor `4` en dan verschuiven met `text(-)1` in de `y` -richting.
`(0 , 3)`
`y= text(-)1`
`4 * 2^x - 1 = 0`
geeft
`2^x = 1/4 = 2^(text(-)2)`
.
Nulpunt
`x=text(-)2`
.
De groeifactor `0,998` is kleiner dan `1` , dus als `t` groter wordt neemt `60*0,998^t+20` af.
`y=20` is de horizontale asymptoot.
De temperatuur van de koffie nadert de omgevingstemperatuur van `20` °C.
Voer in: Y1=60*(0.998)^X+20 en Y2=70.
Venster bijvoorbeeld:
`0 le x le 40`
en
`0 le y le 300`
.
`x≈91,07` , dus na ongeveer `91` seconden uur is de temperatuur `70` °C.
`T ( t ) = 20 + 60 * 0,83^t = 50`
geeft
`0,83^t = 0,5`
.
De GR geeft dan
`t~~3,72`
uur.
Dus tot 11:45.
`T(0) = 80` °C
De groeifactor is kleiner dan `1` .
`T ( t ) = 20 + 60 * 0,83^t = 21` geeft `0,83^t = 0,01666...`
Gebruik je GR. Snijpunt bepalen: `(22 , 21)` .
Het duurt dus `22` uur voordat de koffie een temperatuur bereikt van `21` °C.
`T = 20` °C.
De koffie koelt af tot de kamertemperatuur. `60 * 0,83^t` benadert uiteindelijk `0` , dus de `+20` bepaalt de kamertemperatuur: `20` °C.
Eerst herschalen in de `y` -richting met factor `1/6` en daarna verschuiven met `340` in de `y` -richting.
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10 le x le 10` en `300 le y le 1000` .
`y=340`
`5^x = 10` oplossen met GR: `x ~~ 1,43` .
`5^x = 10` oplossen met GR: `x ~~ 1,43` .
Hoe groter `x` , hoe groter `5^x` , dus `x le 1,43` .
`5 * (1/3)^x - 8 = 2`
geeft
`(1/3)^x = 2`
.
GR:
`x ≈ text(-) 0,63`
.
`x > text(-)0,63`
`4 * 0,5^x - 1 = 0` geeft `0,5^x = 1/4 = 0,5^2` , dus `x=2` .
Grafiek daalt: `x > 2` .
`2 * 2^(text(-)x + 1) - 1 = 0` geeft `2^(text(-)x + 1) = 1/2 = 2^(text(-)1)` , dus `text(-)x+1 = text(-)1` en `x=2` .
Grafiek: `x < 2` .
`3,5^(x + 50) - 0,5 = 3` geeft `3,5^(x + 50) = 3,5` , dus `x+50=1` en `x=49` .
Grafiek: `x > text(-)49` .
`3^(x - 4) = 1/9 sqrt(3) = 3^(text(-)2)*3^(1/2) = 3^(text(-)1,5)` , zodat `x=2,5` .
Grafiek: `x < 2,5` .
`540 * 0,95^t` is dalend, dus `540 - 540 * 0,95^t` is stijgend.
`A = 540`
`0,75*540 = 405`
Oplossen met GR: `t ~~ 27,03 ~~ 27` minuten.
`f(x) = 2^(x - 2) - 3 = 2^x * 2^(text(-)2) - 3 = 1/4 * 2^x - 3`
.
Ontstaat uit
`y = 2^x`
door herschalen in de
`y`
-richting met factor
`1/4`
en verschuiven met
`text(-)3`
in de
`y`
-richting .
`g(x) = 4 * 0,5^(x+3) - 1 = 4 * 0,5^3 * 0,5^x -1 = 1/2 * 0,5^x - 1`
.
Ontstaat uit
`y = 0,5^x`
door herschalen in de
`y`
-richting met factor
`1/2`
en verschuiven met
`text(-)1`
in de
`y`
-richting.
`2^(x - 2) = 2^(text(-)3)` geeft `x= text(-)1` .
`g(x) = 1,5` oplossen met GR: `x ~~ text(-)2,32` .
Aflezen: `x < text(-)2,32` .
`g(text(-)2) = 4 * 0,5^( text(-)2 + 3) - 1 = 4*0,5^1-1 = 1` .
Hoe kleiner `x` , hoe groter de functiewaarden, dus als `x le text(-)2` , dan `g(x) ge 1` .
Stel eerst een formule op:
`D(t)=0,05*2^t`
.
Zeven keer vouwen geeft:
`D(7)=6,4`
mm.
De diameter van de aarde is `2*6365=12730` km.
`12730` km `= 12730*10^6` mm.
De volgende ongelijkheid moet dan worden opgelost:
`D(t) gt 12730000000`
`0,05*2^t gt 12730000000`
Met behulp van de GR kom je dan op het antwoord: voor `t ge 38` is de dikte van het papier groter dan de diameter van de aarde.
De oppervlakte van het resultaat na dertien keer vouwen is `4*0,1=0,4` m2. Bij elke keer vouwen werd de oppervlakte `0,5` keer zo groot. Dus de oorspronkelijke oppervlakte is `0,4*2^13=3276,8` m2. Dit is ter vergelijking ongeveer `65` % van een voetbalveld.
Het aantal velletjes toiletpapier die ze hebben gebruikt is `163840` . Dit zijn ter vergelijking ongeveer `800` rolletjes toiletpapier!
Met `5` herschalen in de `y` -richting en `10` naar beneden verschuiven.
`y = text(-)10`
`x ≥ 2,8`
`x > text(-)2`
`x > 3/2`
`x gt 0,5`
`f(x) = 10*(1/2)^x + 2`
Eerst de `y` -as herschalen met de factor `10` en daarna `2` omhoog verschuilven.
`y=2`
`x = text(-)2`