Exponentiële functies > Meer exponentiële functies
123456Meer exponentiële functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`y_1 = text(-)3 * 0,5^x + 1`

b

`y_2 = text(-)3 * 0,25^x - 4`

Opgave 1
a

`f_1 ( x ) = 3 * 2^x + 1`

Door herschaling in de `y` -richting met factor `3` en een verschuiving van `1` in de `y` -richting.

b

`f_2 ( x ) = 3 * ( 1/2 ) ^x - 1` . Ontstaat uit `y = ( 1/2 ) ^x` . Herschalen in de `y` -richting met factor `3` en verschuiven met `text(-)1` in de `y` -richting.

c

`f_3 (x) = text(-)10 * 1,5^x + 100` .

Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 le x le 8` en `text(-)10 le y le 100` .

Opgave 2
a

`f(x) = 3 * (1/2)^x - 12`

b

Ontstaat uit `y = ( 1/2 ) ^x` door herschaling in de `y` -richting met factor `3` en door een verschuiving van `text(-)12` in de `y` -richting.

c

`( text(-)2 , 0 )`

d

`3 * (1/2)^x - 12 = 0` geeft `(1/2)^x = 4 = (1/2)^(text(-)2)` en dus `x = text(-) 2` .

Opgave 3
a

Nulpunt is `x=3` .

b

`60 * 2^x - 480 = 0` geeft `2^x = 480/60 = 8 = 2^3` , dus het nulpunt is `x=3` .

Opgave 4
a

Met `1/2` vermenigvuldigen in de `y` -richting.

b

Met `1/2` vemenigvuldigen in de `y` -richting en dan `5` eenheden naar beneden schuiven.

c

Als `x` hele grote waarden aanneemt, benadert `(1/3)^x` het getal `0` .

Dus dan nadert `h(x)` het getal `text(-)5` .

d

Alle waarden boven `text(-)5` .

e

`1/2 * (1/3)^x - 5 = 10` geeft `(1/3)^x = 30` .
Gebruik verder de GR om deze vergelijking op te lossen: `x ≈ text(-)3,096` .

f

`x < text(-)3,096`

Opgave 5
a

`f(x) = 2 * 2^x * 2^1 - 1 = 4 * 2^x - 1`

b

Herschalen in de `y` -richting met factor `4` en dan verschuiven met `text(-)1` in de `y` -richting.

c

`(0 , 3)`

d

`y= text(-)1`

e

`4 * 2^x - 1 = 0` geeft `2^x = 1/4 = 2^(text(-)2)` .
Nulpunt `x=text(-)2` .

Opgave 6
a

De groeifactor `0,998` is kleiner dan `1` , dus als `t` groter wordt neemt `60*0,998^t+20` af.

b

`y=20` is de horizontale asymptoot.

De temperatuur van de koffie nadert de omgevingstemperatuur van `20`  °C.

c

Voer in: Y1=60*(0.998)^X+20 en Y2=70.
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 40` en `0 le y le 300` .

`x≈91,07` , dus na ongeveer `91` seconden uur is de temperatuur `70`  °C.

Opgave 7
a

`T ( t ) = 20 + 60 * 0,83^t = 50` geeft `0,83^t = 0,5` .
De GR geeft dan `t~~3,72` uur.

Dus tot 11:45.

b

`T(0) = 80` °C

c

De groeifactor is kleiner dan `1` .

d

`T ( t ) = 20 + 60 * 0,83^t = 21` geeft `0,83^t = 0,01666...`

Gebruik je GR. Snijpunt bepalen: `(22 , 21)` .

Het duurt dus `22` uur voordat de koffie een temperatuur bereikt van `21`  °C.

e

`T = 20`  °C.

f

De koffie koelt af tot de kamertemperatuur. `60 * 0,83^t` benadert uiteindelijk `0` , dus de `+20` bepaalt de kamertemperatuur: `20`  °C.

Opgave 8
a

Eerst herschalen in de `y` -richting met factor `1/6` en daarna verschuiven met `340` in de `y` -richting.

b

Venster bijvoorbeeld: `text(-)10 le x le 10` en `300 le y le 1000` .

c

`y=340`

Opgave 9
a

`5^x = 10` oplossen met GR: `x ~~ 1,43` .

b

`5^x = 10` oplossen met GR: `x ~~ 1,43` .

Hoe groter `x` , hoe groter `5^x` , dus `x le 1,43` .

c

`5 * (1/3)^x - 8 = 2` geeft `(1/3)^x = 2` .
GR: `x ≈ text(-) 0,63` .

d

`x > text(-)0,63`

Opgave 10
a

`4 * 0,5^x - 1 = 0` geeft `0,5^x = 1/4 = 0,5^2` , dus `x=2` .

Grafiek daalt: `x > 2` .

b

`2 * 2^(text(-)x + 1) - 1 = 0` geeft `2^(text(-)x + 1) = 1/2 = 2^(text(-)1)` , dus `text(-)x+1 = text(-)1` en `x=2` .

Grafiek: `x < 2` .

c

`3,5^(x + 50) - 0,5 = 3` geeft `3,5^(x + 50) = 3,5` , dus `x+50=1` en `x=49` .

Grafiek: `x > text(-)49` .

d

`3^(x - 4) = 1/9 sqrt(3) = 3^(text(-)2)*3^(1/2) = 3^(text(-)1,5)` , zodat `x=2,5` .

Grafiek: `x < 2,5` .

Opgave 11
a

`540 * 0,95^t` is dalend, dus `540 - 540 * 0,95^t` is stijgend.

b

`A = 540`

c

`0,75*540 = 405`

Oplossen met GR: `t ~~ 27,03 ~~ 27` minuten.

Opgave 12
a

`f(x) = 2^(x - 2) - 3 = 2^x * 2^(text(-)2) - 3 = 1/4 * 2^x - 3` .
Ontstaat uit `y = 2^x` door herschalen in de `y` -richting met factor `1/4` en verschuiven met `text(-)3` in de `y` -richting .

`g(x) = 4 * 0,5^(x+3) - 1 = 4 * 0,5^3 * 0,5^x -1 = 1/2 * 0,5^x - 1` .
Ontstaat uit `y = 0,5^x` door herschalen in de `y` -richting met factor `1/2` en verschuiven met `text(-)1` in de `y` -richting.

b

`2^(x - 2) = 2^(text(-)3)` geeft `x= text(-)1` .

c

`g(x) = 1,5` oplossen met GR: `x ~~ text(-)2,32` .

Aflezen: `x < text(-)2,32` .

d

`g(text(-)2) = 4 * 0,5^( text(-)2 + 3) - 1 = 4*0,5^1-1 = 1` .

Hoe kleiner `x` , hoe groter de functiewaarden, dus als `x le text(-)2` , dan `g(x) ge 1` .

Opgave 13Dubbelvouwen
Dubbelvouwen
a

Stel eerst een formule op: `D(t)=0,05*2^t` .
Zeven keer vouwen geeft: `D(7)=6,4` mm.

b

De diameter van de aarde is `2*6365=12730` km.

`12730` km `= 12730*10^6` mm.

De volgende ongelijkheid moet dan worden opgelost:

`D(t) gt 12730000000`

`0,05*2^t gt 12730000000`

Met behulp van de GR kom je dan op het antwoord: voor `t ge 38` is de dikte van het papier groter dan de diameter van de aarde.

c

De oppervlakte van het resultaat na dertien keer vouwen is `4*0,1=0,4` m2. Bij elke keer vouwen werd de oppervlakte `0,5` keer zo groot. Dus de oorspronkelijke oppervlakte is `0,4*2^13=3276,8` m2. Dit is ter vergelijking ongeveer `65` % van een voetbalveld.

Het aantal velletjes toiletpapier die ze hebben gebruikt is `163840` . Dit zijn ter vergelijking ongeveer `800` rolletjes toiletpapier!

Opgave 14
a

Met `5` herschalen in de `y` -richting en `10` naar beneden verschuiven.

b

`y = text(-)10`

c

`x ≥ 2,8`

Opgave 15
a

`x > text(-)2`

b

`x > 3/2`

c

`x gt 0,5`

Opgave 16
a

`f(x) = 10*(1/2)^x + 2`

b

Eerst de `y` -as herschalen met de factor `10` en daarna `2` omhoog verschuilven.

c

`y=2`

d

`x = text(-)2`

verder | terug