Logaritmische functies > Eigenschappen
123456Eigenschappen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Vul de eerste uitdrukking in de tweede in.

b

`g^ (\ ^g log ( y )) = y`

c

Nee, dit klopt niet. Probeer maar eens met geschikte getallen waarbij de logaritmen uitkomen. Hoe het wel zit komt in dit onderdeel aan bod.

Opgave 1
a

`t = \ ^1,05 log ( 2 ) ≈ 14,2` jaar.

b

`t = \ ^1,05 log ( 3 ) ≈ 22,5` jaar.

c

`t = \ ^1,05 log ( 6 ) ≈ 36,7` jaar.

d

De tijd waarin het saldo verdubbelt plus de tijd waarin het verdrievoudigt is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt. En dus is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt min de tijd waarin het drie keer zo groot wordt de verdubbelingstijd.

Dus `\ ^1,05 log (6)-\ ^1,05 log (3)=\ ^1,05 log (6/3)=\ ^1,05 log (2)` . 

e

`\ ^g log ( a ) - \ ^g log ( b ) = \ ^g log ( a/b )`

Opgave 2
a

De tijd die nodig is om de hoeveelheid te halveren. `g^t = 1/2` , dus `t = \ ^g log ( 1/2 )` .

b

`g = 0,93` , dus `t = \ ^0,93 log ( 1/2 ) ≈ 9,55` . Dat is `9` jaar en `7` maanden.

c

`g^ ( 28 ) = 1/2` , dus `g = root 28 ( 0,5 ) ≈ 0,976` .

Opgave 3
a

`\ ^3log(300) = (log(300))/(log(3))~~5,19`

b

`log(10) = 1` , dus voor het grondtal `g` moet gelden `\ ^glog(10)=1` , zodat `g^1=10` .

Opgave 4
a

`\ ^5log(90) = (log(90))/(log(5))~~2,8`

b

`\ ^(1/2)log(20)~~text(-)4,3`

c

`\ ^4log(1/3)~~text(-)0,8`

d

`\ ^(0,1)log(300)~~text(-)2,5`

Opgave 5
a

`\ ^2 log (16) + \ ^2 log (8) = \ ^2 log (16*8) = \ ^2 log (128)`

Contrôle: `4 + 3 = 7` .

b

`\ ^2 log (16) - 3 * \ ^2 log (2) = \ ^2 log (16) - \ ^2 log (2^3) = \ ^2 log (16/8) = \ ^2 log (2)`

Contrôle: `4 - 3 * 1 = 1` .

c

`\ ^(1/2)log(16) = (\ ^2log(16))/(\ ^2log(1/2)) = (\ ^2log(16))/(text(-)1) = text(-) \ ^2log(16)`

Contrôle: `text(-)4 = text(-)4` .

d

`\ ^2log(80)+\ ^(0,5)log(5)=\ ^2log(80)+ (\ ^2log(5)) / (\ ^2log(0,5)) =\ ^2log(80)-\ ^2log(5)=\ ^2log(80/5)= \ ^2log(16)=4`

Opgave 6
a

`\ ^2log(72)-2 *\ ^2log(3)=\ ^2log(72)-\ ^2log(3^2)=\ ^2log(72)-\ ^2log(9)=\ ^2log(72 /9)=\ ^2log(8)=3`

b

`\ ^2log(80)+\ ^(0,5)log(5)=\ ^2log(80)+ (\ ^2log(5)) / (\ ^2log(0,5)) =\ ^2log(80)-\ ^2log(5)=\ ^2log(80/5)= \ ^2log(16)=4`

c

`\ ^2log(7)+\ ^3log(81)=\ ^2log(7)+4 =\ ^2log(7)+\ ^2log(16)=\ ^2log(112)`

d

`0,5 *\ ^2log(36)-1 =\ ^2log(36^(0,5))-\ ^2log(2)=\ ^2log(6)-\ ^2log(2)=\ ^2log(6/2)=\ ^2log(3)`

Opgave 7
a

`x = 5^2 = 25`

b

`2 x = 4^0 = 1` geeft `x = 0,5` .

c

`x^2 = ( 1/4 ) ^-4 = 256` geeft `x = 16 ∨ x = -16` .

d

`sqrt( x ) = 2^5 = 32` geeft `x = 32^2 = 1024` .

Opgave 8
a

`log(5 x)+log(x) = log(5x^2) = 1` geeft `5x^2=10^1=10` en `x6@=2` , zodat `x=sqrt(2)` .

( `x=text(-)sqrt(2)` kan niet.)

b

`log(4)-log(5x)=log(4/(5x))=2` geeft `4/5x = 100` en dus `5x = 0,04` , zodat `x=0,008` .

Opgave 9
a

`\ ^5 log (5^4) = 4`

b

`\ ^2 log (100)≈ 6,644`

c

`\ ^8 log (8000) ≈ 4,322`

d

`log (40) + log (25)=3`

e

`\ ^ (1/3) log (0,0003) ≈ 7,384`

f

`\ ^7 log (7^(0,5)) = 0,5`

Opgave 10
a

` log (5) + log (20)=2`

b

`\ ^5 log(100) - \ ^5 log(4)=2`

c

`2 * \ ^6 log(3) + \ ^6 log(4)=2`

d

`\ ^ (1/3) log(45) - \ ^ (1/3) log(5)=text(-)2`

Opgave 11

`1,02^t=2` geeft `\ ^(1,02)log(2)~~35` jaar
De verdubbelingstijd is ongeveer 35 jaar.

Opgave 12
a

`10 * 5^x = 0,16` geeft `5^x = 0,016` en `x = \ ^5log(0,016) ≈ text(-)2,6` .

b

`\ ^4log(x+1)=3` geeft `x+1=4^3=64` en `x=63` .

c

`log (8x ) + log (x) = log(8x^2) = 3` geeft `x^2 = 1000/8 = 125` en `x = sqrt(125) ~~11,2` .
( `x = text(-)sqrt(125)` vervalt.)

d

`log(2x) - 2 * log(x) = log((2x)/(x^2)) = 1` geeft `2/x = 10` , zodat `x = 0,2` .

Opgave 13

Het groeipercentage is `p` , hieruit volgt dat de groeifactor `1 + p/100 = g` is.
Voor de verdubbelingstijd `T` geldt `g^T = 2` en hieruit volgt `(1 + p/100) ^T = 2` .
Dat geeft `log ((1+p/100)^T) = log(2)` en hieruit volgt `T * log(1+p/100) = log (2)` . Daaruit volgt de gegeven formule.

Opgave 14Radioactiviteit
Radioactiviteit
a

`0,89^t = 0,5` geeft `t = \ ^(0,89) log ( 0,5 )~~ 5,95` .

De halveringstijd is ongeveer 5,95 jaar

b

`800 → 400 → 200 → 100 → 50` , dus vier halveringstijden en dat is ongeveer `4 * 5,95 = 23,8` jaar.
Het duurt ongeveer 23,8 jaar.

c

`60 * 0,89^t = 15` geeft `0,89^t = 0,25` en dus `t = \ ^(0,89) log ( 0,25 )~~11,90` .

Het duurt ongeveer `11,90` jaar. Dit is `11` jaar en bijna `11` maanden.

Opgave 15Halfwaardetijd
Halfwaardetijd
a

`800 → 400 → 200 → 100` , `3` keer halfwaardetijd, dus `3 * 15 = 45` uur.

b

`g^15 = 0,5` , dus `g ≈ 0,9548` .

c

Los op: `800 * 0,9548^t = 160` , dus `0,9548^t = 0,2` en `t = \ ^0,9548 log ( 0,2 ) ≈ 34,8` uur.

Opgave 16
a

Ongeveer `4` jaar en `3` maanden.

b

`≈ 7,27` jaar

c

`11,53` jaar.

d

`7,27 + 11,53 = 18,80` jaar.

e

`t = \ ^1,10 log ( 6 ) = 18,80` jaar.

Opgave 17

`g = 0,92` , dus `0,92^T = 1/3` en `T = (log ( 1 / 3 )) / (log ( 0,92 )) ≈ 13,175` . Dus ongeveer `13` uur.

Opgave 18

`g = 1,003` , dus `1,003^T = 2` en `T = (log ( 2 )) / (log ( 1,003 )) ≈ 231` . Dus ongeveer `231` jaar.

Opgave 19
a

`t ≈ 4,907 `

b

`x = text(-)24`

c

`x = ± sqrt( 32/3 )` (alleen voldoet `- sqrt( 32/3 )` niet omdat in een logaritme geen negatief getal kan worden ingevuld).

verder | terug