Logaritmische functies > EigenschappenAntwoorden van de opgaven
Vul de eerste uitdrukking in de tweede in.
`g^(\ ^g log(y)) = y`
Nee, dit klopt niet. Probeer maar eens met geschikte getallen waarbij de logaritmen uitkomen. Hoe het wel zit komt in dit onderdeel aan bod.
`t = \ ^(1,05) log(2) ≈ 14,2` jaar.
`t = \ ^(1,05) log(3) ≈ 22,5` jaar.
`t = \ ^(1,05) log(6) ≈ 36,7` jaar.
De tijd waarin het saldo verdubbelt plus de tijd waarin het verdrievoudigt is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt. En dus is de tijd waarin het zes keer zo groot wordt min de tijd waarin het drie keer zo groot wordt de verdubbelingstijd.
Dus `\ ^(1,05) log(6) - \ ^(1,05) log(3) = \ ^(1,05) log(6/3) = \ ^(1,05) log (2)` .
`\ ^g log(a) - \ ^g log(b) = \ ^g log(a/b)`
De tijd die nodig is om de hoeveelheid te halveren. `g^t = 1/2` , dus `t = \ ^g log(1/2)` .
`0,93^t = 0,5` , dus `t = \ ^(0,93) log(0,5) ≈ 9,55` . Dat is `9` jaar en `7` maanden.
`g^(28) = 1/2` , dus `g = root[28](0,5) ≈ 0,976` .
`\ ^3log(300) = (log(300))/(log(3))~~5,19`
`log(10) = 1` , dus voor het grondtal `g` moet gelden `\ ^glog(10)=1` , zodat `g^1=10` .
`\ ^5log(90) = (log(90))/(log(5)) ~~ 2,8`
`\ ^(1/2)log(20) ~~ text(-)4,3`
`\ ^4log(1/3) ~~ text(-)0,8`
`\ ^(0,1)log(300) ~~ text(-)2,5`
`\ ^2 log (16) + \ ^2 log (8) = \ ^2 log (16*8) = \ ^2 log (128)`
Controle: `4 + 3 = 7` .
`\ ^2 log (16) - 3 * \ ^2 log (2) = \ ^2 log (16) - \ ^2 log (2^3) = \ ^2 log (16/8) = \ ^2 log (2)`
Controle: `4 - 3 * 1 = 1` .
`\ ^(1/2)log(16) = (\ ^2log(16))/(\ ^2log(1/2)) = (\ ^2log(16))/(text(-)1) = text(-) \ ^2log(16)`
Controle: `text(-)4 = text(-)4` .
`\ ^2log(80) + \ ^(0,5)log(5) = \ ^2log(80) + (\ ^2log(5))/(\ ^2log(0,5)) = \ ^2log(80) - \ ^2log(5) = \ ^2log(80/5) =` ` \ ^2log(16) = 4`
`\ ^2log(72)-2 * \ ^2log(3) = \ ^2log(72) - \ ^2log(3^2) = \ ^2log(72) - \ ^2log(9) = \ ^2log(72 /9) =` `\ ^2log(8) = 3`
`\ ^2log(80) + \ ^(0,5)log(5) = \ ^2log(80) + (\ ^2log(5))/(\ ^2log(0,5)) = \ ^2log(80) - \ ^2log(5) = \ ^2log(80/5) =` `\ ^2log(16) = 4`
`\ ^2log(7) + \ ^3log(81) = \ ^2log(7) + 4 = \ ^2log(7) + \ ^2log(16) = \ ^2log(112)`
`0,5 *\ ^2log(36) - 1 = \ ^2log(36^(0,5)) - \ ^2log(2) = \ ^2log(6) - \ ^2log(2) = \ ^2log(6/2) = \ ^2log(3)`
`x = 5^2 = 25`
`2x = 4^0 = 1` geeft `x = 0,5` .
`x^2 = (1/4)^(text(-)4) = 256` geeft `x = 16 ∨ x = text(-)16` .
`sqrt(x) = 2^5 = 32` geeft `x = 32^2 = 1024` .
`log(5 x)+log(x) = log(5x^2) = 1` geeft `5x^2 = 10^1 =10` en `x^2 = 2` , zodat `x=sqrt(2)` .
( `x=text(-)sqrt(2)` kan niet.)
`log(4) - log(5x) = log(4/(5x)) = 2` geeft `4/(5x) = 100` en dus `5x = 0,04` , zodat `x=0,008` .
`\ ^5 log(5^4) = 4`
`\ ^2 log(100)≈ 6,644`
`\ ^8 log(8000) ≈ 4,322`
`log(40) + log(25)=3`
`\ ^(1/3) log(0,0003) ≈ 7,384`
`\ ^7 log(7^(0,5)) = 0,5`
` log (5) + log (20)=2`
`\ ^5 log(100) - \ ^5 log(4) = 2`
`2 * \ ^6 log(3) + \ ^6 log(4) = 2`
`\ ^(1/3) log(45) - \ ^(1/3) log(5) = text(-)2`
`1,02^t = 2`
geeft
`\ ^(1,02)log(2)~~35`
jaar.
De verdubbelingstijd is ongeveer
`35`
jaar.
`10 * 5^x = 0,16` geeft `5^x = 0,016` en `x = \ ^5log(0,016) ≈ text(-)2,6` .
`\ ^4log(x+1) = 3` geeft `x+1 = 4^3 = 64` en `x = 63` .
`log(8x) + log(x) = log(8x^2) = 3`
geeft
`x^2 = 1000/8 = 125`
en
`x = sqrt(125) ~~11,2`
.
(
`x = text(-)sqrt(125)`
vervalt.)
`log(2x) - 2 * log(x) = log((2x)/(x^2)) = 1` geeft `2/x = 10` , zodat `x = 0,2` .
Het groeipercentage is
`p`
, hieruit volgt dat de groeifactor
`1 + p/100 = g`
is.
Voor de verdubbelingstijd
`T`
geldt
`g^T = 2`
en hieruit volgt
`(1 + p/100)^T = 2`
.
Dat geeft
`log((1+p/100)^T) = log(2)`
en hieruit volgt
`T * log(1+p/100) = log (2)`
. Daaruit volgt de gegeven formule.
`0,89^t = 0,5` geeft `t = \ ^(0,89) log(0,5)~~ 5,95` .
De halveringstijd is ongeveer `5,95` jaar.
`800 → 400 → 200 → 100 → 50`
, dus vier halveringstijden en dat is ongeveer
`4 * 5,95 = 23,8`
jaar.
Het duurt ongeveer
`23,8`
jaar.
`60 * 0,89^t = 15` geeft `0,89^t = 0,25` en dus `t = \ ^(0,89) log(0,25) ~~ 11,90` .
Het duurt ongeveer `11,90` jaar. Dit is `11` jaar en bijna `11` maanden.
`800 → 400 → 200 → 100` , `3` keer halfwaardetijd, dus `3 * 15 = 45` uur.
`g^15 = 0,5` , dus `g = root[15](0,5) ≈ 0,9548` .
Los op: `800 * 0,9548^t = 160` , dus `0,9548^t = 0,2` en `t = \ ^(0,9548) log(0,2) ≈ 34,8` uur.
Ongeveer `4` jaar en `3` maanden.
`≈ 7,27` jaar
`11,53` jaar.
`~~ 7,27 + 11,53 = 18,80` jaar.
`t = \ ^(1,10)) log(6) ~~ 18,80` jaar.
`g = 0,92` , dus `0,92^T = 1/3` en `T = (log(1/3))/(log(0,92)) ≈ 13,175` . Dus ongeveer `13` uur.
`g = 1,003` , dus `1,003^T = 2` en `T = (log(2))/(log(1,003)) ≈ 231` . Dus ongeveer `231` jaar.
`t ≈ 4,907 `
`x = text(-)24`
`x = ± sqrt(32/3)` (alleen voldoet `text(-) sqrt(32/3)` niet omdat in een logaritme geen negatief getal kan worden ingevuld).