Logaritmische functies > Eigenschappen
123456Eigenschappen

Uitleg

Voor het saldo `S` op een spaarrekening `t` jaar na een eenmalige storting van € 4000,00 en een jaarlijkse rente van `5` % geldt: `S (t) = 4000 * 1,05^t`

De tijd die nodig is om het saldo te verdubbelen vind je door de vergelijking `1,05^t = 2` op te lossen.

De verdubbelingstijd is `t = \ ^(1,05)log(2)` jaar.

De tijd die nodig is om het saldo te verdrievoudigen vind je door de vergelijking `1,05^t = 3` op te lossen.

De verdrievoudigingstijd is `t = \ ^(1,05)log(3)` jaar.

De verzesvoudigingstijd vind je door de verdubbelingstijd en de verdrievoudigingstijd op te tellen:
`\ ^(1,05) log (2) + \ ^ (1,05) log (3) = \ ^ (1,05) log (6) = \ ^ (1,05) log (2 * 3)`
Dit maakt deze eigenschap van de logaritme aannemelijk:

  • `\ ^(g)log(a)+\ ^(g)log(b)=\ ^(g)log(a*b)`

Op soortgelijke wijze verklaar je de eigenschap:

  • `\ ^(g)log(a)-\ ^(g)log(b)=\ ^(g)log(a/b)`

De grondtallen moeten gelijk zijn om logaritmen op te mogen tellen of van elkaar af te mogen trekken.

De verachtvoudigingstijd van het saldo is `t_8=\ ^ (1,05) log (8)` .
De verachtvoudigingstijd vind je ook door drie keer de verdubbelingstijd te nemen:
`3*\ ^ (1,05) log(2)=\ ^ (1,05) log(8)=\ ^ (1,05) log(2^3)`
Dit past bij de eigenschap:

  • `p*\ ^(g)log(a)=\ ^(g)log(a^p)`

Opgave 1

In de Uitleg 1 zie je in welke tijd een saldo verdubbelt dan wel verdrievoudigt.

a

Hoe lang duurt het voor het saldo `2` keer zo groot (dus € 8000) geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.

b

Hoe lang duurt het voor het saldo `3` keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.

c

Hoe lang duurt het voor het saldo `6` keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.

d

Het antwoord bij a kun je krijgen door het antwoord bij b van dat bij c af te trekken. Controleer dit en geef een verklaring.

e

Bij d heb je een voorbeeld van een eigenschap van logaritmen die in de Uitleg 1 staat vermeld. Om welke eigenschap gaat het hier?

Opgave 2

Bij exponentiële afname komt het begrip halveringstijd voor.

a

Geef een omschrijving van het begrip halveringstijd. Maak hierbij gebruik van een logaritme.

b

Bereken in maanden nauwkeurig de halveringstijd in het geval een hoeveelheid jaarlijks met `7` % afneemt.

c

De radioactieve stof Strontium heeft een halveringstijd van `28` jaar. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per jaar.

verder | terug