Logaritmische functies > EigenschappenUitleg
Voor het saldo `S` op een spaarrekening `t` jaar na een eenmalige storting van € 4000,00 en een jaarlijkse rente van `5` % geldt: `S (t) = 4000 * 1,05^t` .
De tijd die nodig is om het saldo te verdubbelen vind je door de vergelijking `1,05^t = 2` op te lossen.
De verdubbelingstijd is `t = \ ^(1,05)log(2)` jaar.
De tijd die nodig is om het saldo te verdrievoudigen vind je door de vergelijking `1,05^t = 3` op te lossen.
De verdrievoudigingstijd is `t = \ ^(1,05)log(3)` jaar.
De verzesvoudigingstijd vind je door de verdubbelingstijd en de verdrievoudigingstijd
op te tellen:
`\ ^(1,05) log(2) + \ ^ (1,05) log(3) = \ ^ (1,05) log(6) = \ ^ (1,05) log(2 * 3)`
Dit maakt deze eigenschap van de logaritme aannemelijk:
-
`\ ^(g)log(a) + \ ^(g)log(b) = \ ^(g)log(a*b)`
Op soortgelijke wijze verklaar je de eigenschap:
-
`\ ^(g)log(a) - \ ^(g)log(b) = \ ^(g)log(a/b)`
De grondtallen moeten gelijk zijn om logaritmen op te mogen tellen of van elkaar af te mogen trekken.
De verachtvoudigingstijd van het saldo is
`t_8 = \ ^ (1,05) log(8)`
.
De verachtvoudigingstijd vind je ook door drie keer de verdubbelingstijd te nemen:
`3*\ ^ (1,05) log(2) = \ ^ (1,05) log(8) = \ ^ (1,05) log(2^3)`
Dit past bij de eigenschap:
-
`p*\ ^(g)log(a)=\ ^(g)log(a^p)`
In
Hoe lang duurt het voor het saldo `2` keer zo groot (dus € 8000) geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
Hoe lang duurt het voor het saldo `3` keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
Hoe lang duurt het voor het saldo `6` keer zo groot geworden is? Schrijf het antwoord als logaritme. Bereken deze logaritme op één decimaal nauwkeurig.
Het antwoord bij a kun je krijgen door het antwoord bij b van dat bij c af te trekken. Controleer dit en geef een verklaring.
Bij d heb je een voorbeeld van een eigenschap van logaritmen die in
Bij exponentiële afname komt het begrip halveringstijd voor.
Geef een omschrijving van het begrip halveringstijd. Maak hierbij gebruik van een logaritme.
Bereken in maanden nauwkeurig de halveringstijd in het geval een hoeveelheid jaarlijks met `7` % afneemt.
De radioactieve stof Strontium heeft een halveringstijd van `28` jaar. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de groeifactor per jaar.