Logaritmische functies > Logaritmische vergelijkingen
123456Logaritmische vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de Uitleg . Probeer dit wel eerst zelf op te lossen!

Opgave 1
a

Voer in: Y1=3*(log(X))/(log(2))+16.
Venster bijvoorbeeld: `0 ≤ x ≤ 200` en `0 ≤ y ≤ 50` .

b
`3 * \ ^2 log(x) + 16` `=` `38`
`3*\ ^2 log(x)` `=` `22`
`\ ^2 log(x)` `=` `22/3`
`x` `=` `2^ (22/3) ≈ 161,27`
Opgave 2
a

Domein: `⟨ 0 , → ⟩`
Bereik: `ℝ`
Verticale asymptoot: `x = 0` .

b

Invoer: Y1=3*(log(X))/(log(2))+16 en Y2=38 met venster: `0 ≤ x ≤ 200` en `0 ≤ y ≤ 50` .

Uit de vorige opgave weet je dat `y_1 = 38` als `x ~~ 161,26` . Bovendien kan `x` niet negatief of `0` worden, vanwege de logaritme. Dus: `0 lt x le 161,26` .

Opgave 3

Voer in: `y_1=2+3*(log(x-4))/(log(2))` en `y_2=11` .
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `text(-)5 le y le 15` .

`2 + 3 * \ ^2 log(x-4)` `=` `11`
`3*\ ^2 log(x-4)` `=` `9`
`\ ^2 log(x-4)` `=` `3`
`x - 4` `=` `2^3`
`x` `=` `12`

De verticale asymptoot is `x = 4` .
Lees uit de grafiek de oplossing van de ongelijkheid af: `4 lt x le 12` .

Opgave 4
a

`1 + 4 * \ ^(0,5)log(x+5) = text(-)3` geeft `\ ^(0,5)log(x+5) = text(-)1` en `x = 0,5^(text(-)1) - 5 = text(-)3` .

b

`text(D)_f = ⟨text(-)5, → ⟩`
`text(B)_f = ℝ`
verticale asymptoot: `x = text(-)5`

c

Grafiek: `text(-)5 lt x le text(-)3` .

Opgave 5
a

`text(D)_f = ⟨0, →⟩`
`text(D)_g = ⟨←; 2,5⟩`

b

De verticale asymptoot van de grafiek van `f` is: `x = 0` .
De verticale asymptoot van de grafiek van `g` is: `x = 2,5` .

c

`\ ^2 log(x) = \ ^2 log(5-2x)` geeft `x = 5 - 2x` en dus `x=5/3` .

d

Grafiek: `5/3 < x < 2,5` .

Opgave 6

`\ ^6 log(x) + \ ^6 log(x-1) = \ ^6 log(x(x-1)) = 1` geeft `x(x-1) = 6^1` .
Dit wordt `x^2 - x - 6 = (x-3)(x+2) = 0` en dus `x = 3 ∨ x = text(-)2` waarvan `x = text(-)2` niet voldoet.

Opgave 7
a

`x = (1/3) ^4 = 1/81`

b

Voer in: Y1=(log(X))/(log(1/3)) en Y2=4.
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10 ≤ x ≤ 10` en `text(-)10 ≤ y ≤ 10` .

Uit de grafiek blijk dat `y_1 le 4` als `x ge 1/81` .

c

`text(-)5 + 4 * \ ^2 log(x-2) = 11` geeft `\ ^2 log(x-2) = 4` en `x=2^4 + 2 = 18` .

d

Voer in: Y1=text(-)5+4*(log(X-2))/(log(2)) en Y2=11.
Venster bijvoorbeeld: `text(-)10 ≤ x ≤ 50` en `text(-)10 ≤ y ≤ 20` .

Grafiek: `3 lt x le 18` .

e

`\ ^3 log(x-2) = 1 + 5 * \ ^3 log(2) = \ ^3log(3) + \ ^3log(2^5) = \ ^3log(96)` .
Dit geeft `x-2 = 96` , dus `x = 98` .

f

`log(2x) - log(x-1) = log((2x)/(x-1)) = 2` geeft `(2x)/(x-1) = 10^2 = 100` .
Dat levert op `2x=100x-100` en `x = 50/49` .

Opgave 8
a

Kijk als je herleiding klaar is of je hetzelfde hebt gedaan als in het voorbeeld en of je dezelfde uitkomst hebt.

b

`p~~0,00002 *1,12^20 ~~ 19*10^(text(-)3)` Pa.

c

`L=20 *log((0,001)/ (0,00002) ) ~~ 34` dB.

Opgave 9
a

`h = text(-)19log(p) + 57` geeft `log(p) = (h-57)/(text(-)19) ~~ text(-)0,0526h + 3` .

En dit betekent `p ~~ 10^(text(-)0,0526h + 3) = 10^3 * 10^(text(-)0,0526h) = 1000 * 0,886^h` .

b

`p ~~ 1000 * 10^(text(-)0,0526h)` .

Opgave 10
a

`text(D)_f = ⟨0, →⟩`
`text(B)_f = ℝ`

b

`1 - 3*log(x) = 0` geeft `log(x) = 1/3` en dus `x = 10^(1/3) = root[3](10)` .
Grafiek: `x > root[3](10)` .

Opgave 11
a

`text(D)_g = ⟨1, →⟩`
`text(B)_g = ℝ`

b

` text(-) 10 + 2 * \ ^(1/3) log(x - 1) = text(-)14` geeft `\ ^(1/3) log(x - 1) = text(-)2` en dus `x = (1/3)^(text(-)2)+1 = 10` .
Grafiek: `1 lt x le 10` .

Opgave 12
a

`\ ^3 log(x) = 2 * \ ^3 log(5)` geeft `\ ^3 log(x) = \ ^3 log(5^2)` , dus `x = 25` .

b

`\ ^(1/3)log(x) = \ ^(1/3)log(5) + \ ^(1/3)log(2) = \ ^(1/3)log(10)` , dus `x = 10` .

c

`5 - \ ^2 log(x) = 0` geeft `\ ^2 log(x) = 5` en `x = 2^5 = 32` .

d

`\ ^5 log(x) = 3 + 4 * \ ^5 log(3) = \ ^5log(5^3) + \ ^5 log(3^4) = \ ^5log(5^3 * 3^4)` en dus `x = 5^3 * 3^4 = 10125` .

e

`\ ^(1/3)log(x) = \ ^(1/3)log(5) + \ ^(1/3)log(2-x) = \ ^(1/3)log(5(2-x))` , zodat `x = 10-5x` en `x = 5/3` .

f

`\ ^5 log(x) = 3 + 4 * \ ^5 log(x)` geeft `text(-)3 * \ ^5 log(x) = 3` en dus `\ ^5 log(x) = text(-)1` , zodat `x = 5^(text(-)1) = 0,2` .

Opgave 13
a

`text(D)_f = ⟨0, →⟩`
`text(B)_f = ℝ`
verticale asymptoot `x = 0`
`text(D)_g = ⟨ ← , 4 ⟩`
`text(B)_g = ℝ`
verticale asymptoot `x = 4`

b

`log(x) = text(-)1 + log(4-x) = log(10^(text(-)1))+ log(4-x) = log(0,4-0,1x)` .
Dus `x = 0,4 - 0,1x` en `x = 4/11` .

c

Grafiek: `0 lt x le 4/11` .

d

Grafiek: `4/11 < x < 4` .

Opgave 14
a

`\ ^3 log(5 - q) = 15 - p` geeft `5-q = 3^(15-p)` en dus `q = 5 - 3^(15-p)` .

b

`log(q/200) = (p-600)/15` geeft `q/200 = 10^((p-600)/15)` en dus `q = 200*10^((p-600)/15)` .

Opgave 15
`t` `=` `\ ^(0,8) log((6000 - N)/(20))`
`0,8^t` `=` `(6000 - N)/(20)`
`20 * 0,8^t` `=` `6000 - N`
`N` `=` `6000 + 20*0,8^t`
Opgave 16Breedte van wegen
Breedte van wegen
a

Los `800 = (8289,3)/B * (1,778 - log(B))` op met de grafische rekenmachine (denk eraan om te beschrijven hoe met de GR de oplossing van deze vergelijking kan worden gevonden). Dit geeft `B = 8,6` (of `8,7` ).

b

Als `B` toeneemt, neemt `(8289,3)/B` af. Als `B` toeneemt, neemt `log(B)` toe en dan neemt `1,778 - log(B)` af. Hieruit volgt dat `N_ max` dalend is.

c

Maak met de GR je een tabel met passende instellingen. Daarin vind je `N_ max (6,5) ≈ 1231` en `N_ max (7,0) ≈ 1105` . De breedte van de weg was oorspronkelijk `6,5` meter.

(bron: examen wiskunde A1,2 in 2005, eerste tijdvak)

Opgave 17
a

`x = 6`

b

`x = 0,2`

c

`x = 2/3`

d

`x = sqrt(1/2)`

Opgave 18
a

`text(D)_f = 〈 0 , → 〉` , `text(B)_f = ℝ` , verticale asymptoot `x = 0` .
`text(D)_g = 〈 ← , 6 〉` , `text(B)_g = ℝ` , verticale asymptoot `x = 6` .

b

`x = 1/18`

c

`x > 9841,5`

d

`x = 5`

e

`x = 2`

f

`2 le x lt 6`

Opgave 19

`log((D + 10)/100) = (k - 5)/4 = 0,25 k - 1,25` geeft `(D + 10)/100 = 10^(0,25 k - 1,25)` en dus `D = 100 * 10^(0,25 k - 1,25) - 10` . Dit kun je verder herleiden tot `D = 100 * 10^(text(-)1,25) * (10^(0,25))^k - 10 = 10^(0,75) * (10^(0,25))^k - 10 ~~ 5,62*1,78^k - 10` .

verder | terug