Logaritmische functies > TotaalbeeldExamenopgaven
Vliegtuigen veroorzaken in de buurt van vliegvelden veel geluidsoverlast. In milieuwetten is vastgelegd welke geluidsbelasting (hoeveel geluid) nog toegestaan is. Door deze wetten worden de groeimogelijkheden van het vliegverkeer beperkt. In deze opgave nemen we aan dat alle vliegtuigen hetzelfde geluidsniveau hebben. Dit geluidsniveau geven we aan met `L` . De waarde van `L` bepaalt hoeveel vliegtuigen jaarlijks maximaal mogen passeren. Dit maximale aantal noemen we `N` . Voor een gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk gold aan het eind van de vorige eeuw de voorwaarde:
`20 *log(N)=202 -4/3L`
Door het gebruik van nieuwe technieken neemt het geluidsniveau `L` van vliegtuigen af.
In een zekere periode nam `L` af van `75` dB naar `70` dB. Toon door berekening aan dat `N` in die periode meer dan verdubbelde.
Bereken de maximale waarde van `L` waarbij er een half miljoen ( `500000` ) vliegtuigen mogen passeren.
In 2001 werd een nieuwe milieuwet van kracht. Voor het gebied in de buurt van vliegveld Zuidwijk geldt sindsdien:
`20 *log(N)=248 -2 L`
De oude en de nieuwe formule leverden in 2001 dezelfde waarde van `N` op.
Bereken welke waarde `L` in 2001 had.
Laat zien dat de formule voor de nieuwe situatie is te herleiden tot: `N ≈ 2,512*10^12*0,794^L` .
(bron: naar examen wiskunde A1 vwo 2003, tweede tijdvak, opgave 4)
Om voedingswaren tegen bederf te beschermen, worden ze tijdelijk verhit. Men noemt dit steriliseren. Er zijn verschillende sterilisatiemethoden. In deze opgave kijken we naar het sterilisatieproces bij twee soorten bacteriën. De temperatuur bij dat proces is `121` °C. Naarmate de bacteriën korter aan deze temperatuur zijn blootgesteld, zullen er meer bacteriën overleven. In de figuur zie je een overlevingsgrafiek van de Bacillus stearothermophilus. Bij een overlevingsgrafiek heeft de verticale as altijd een logaritmische schaalverdeling. Het aantal bacteriën bij aanvang van het sterilisatieproces stelt men altijd op `1` miljoen. We gaan er steeds vanuit dat voor verschillende soorten bacteriën de overlevingsgrafieken rechte lijnen zijn indien de verticale as een logaritmische schaalverdeling heeft. Bij de grafiek hoort een formule van de vorm:
`N_t=10^6*2^ (text(-) r*t)`
Hierin is `N_t` het aantal bacteriën na `t` minuten en is `r` de sterftefactor. De sterftefactor is afhankelijk van het type bacteriën. Met behulp van de grafiek kun je berekenen dat de sterftefactor `r` van de Bacillus stearothermophilus ongeveer gelijk is aan `2,2` .
Toon dat met een berekening aan.
De `D` -waarde is de tijd in minuten die nodig is om het aantal bacteriën te reduceren tot `10` % van het oorspronkelijke aantal. Net als de sterftefactor is de `D` -waarde afhankelijk van de soort bacteriën.
Bereken voor de Bacillus stearothermophilus de `D` -waarde met behulp van bovenstaande formule en leg uit hoe je deze `D` -waarde kunt controleren met behulp van de figuur.
Men heeft ook van andere bacteriën de `D` -waarde bepaald. Voor de Clostridium botulinum is deze `D` -waarde gelijk aan `2,55` minuten. Met dit gegeven kunnen we de overlevingsgrafiek van de Clostridium botulinum tekenen. Ook voor deze overlevingsgrafiek beginnen we weer met `1` miljoen bacteriën.
Teken deze overlevingsgrafiek in de gegeven figuur op de bijlage. Licht je werkwijze toe.
(bron: examen wiskunde A1,2 vwo 2006, tweede tijdvak)
Honing bestaat grotendeels uit vocht en suikers en voor een klein gedeelte uit andere stoffen, zoals enzymen en mineralen. De kwaliteit van honing hangt onder andere af van de concentratie van het enzym diastase: hoe meer diastase, hoe beter de kwaliteit van de honing. De concentratie van diastase in honing wordt aangeduid met het diastasegetal.
Door het bewaren van honing gaat er diastase verloren en neemt dus het diastasegetal af. De snelheid waarmee dat gebeurt, hangt af van de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard. Een maat waarmee de afname van het diastasegetal kan worden weergegeven, is de zogeheten halfwaardetijd. Dat is de tijd waarin het diastasegetal wordt gehalveerd. Bekijk de grafiek waarin deze halfwaardetijd is uitgezet tegen de temperatuur waarbij de honing wordt bewaard.
Wat is beter: honing bewaren bij een lage temperatuur of bij een hoge temperatuur? Licht je antwoord toe en maak daarbij gebruik van de grafiek.
Het diastasegetal is bij de meeste soorten honing direct na winning niet hoger dan `30` . Als het diastasegetal lager is dan `8` , mag de honing alleen nog maar als bakkershoning worden verkocht. Een bepaald type honing heeft bij winning een diastasegetal van `28` . Deze honing wordt gedurende drie jaar bewaard bij een temperatuur van `25` °C. Ga ervan uit dat de afname van het diastasegetal exponentieel verloopt.
Laat met behulp van de grafiek in zien dat deze honing na drie jaar bakkershoning is geworden.
Soms versuikert honing. Er ontstaan dan suikerkorrels op de bodem van een pot honing. Versuikerde honing wordt weer vloeibaar door de honing te verhitten. Uit de grafiek blijkt dat het diastasegetal wordt gehalveerd als honing `24` uur lang op een temperatuur van `60` °C wordt gehouden. Een partij honing met een diastasegetal van `27` wordt gedurende een bepaalde tijd op een temperatuur van `60` °C gehouden. Ga er nog steeds van uit dat de afname van het diastasegetal exponentieel verloopt.
Bereken hoelang het duurt totdat deze partij bakkershoning is geworden.
(bron: examen vwo wiskunde A in 2008, eerste tijdvak)