Een maximum van `text(-)5` , want het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt, is negatief.

Nee, want het maximum is `text(-)5` .

`text(-)2 (x - 4)^2 - 5 = text(-)7` geeft `(x - 4)^2 = 1` , dus `x=3 vv x=5` .

Eerst `4` verschuiven in de `x` -richting, vervolgens in de  `y` -richting herschalen met factor `0,5` en `text(-)4` verschuiven in de `y` -richting.

Een minimum van `text(-)4` , want het getal waarmee je het kwadraat vermenigvuldigt, is positief.

`1/2 (x - 4)^2 - 4 = 100` geeft `(x - 4)^2 = 208` en `x = 4 - sqrt(208) vv x = 4 + sqrt(208)` .
Grafiek (dalparabool): `4 - sqrt(208) lt x lt 4 + sqrt(208)` .

Met `text(-)1` verschuiven in de `x` -richting, dan met factor `2` herschalen in de `y` -richting en ` text(-)3` verschuiven in de `y` -richting.

Min. `f(text(-)1) = text(-)3`

De lijn `x = text(-)1` .

Als `a` positief is, dan is het een dalparabool en heeft de grafiek dus een minimum. Als `a` negatief is, dan is het een bergparabool en heeft de grafiek dus een maximum.

Dat zie je aan `q` .

`x = p` , want de top zit bij de `x` -waarde waarbij het kwadraat `0` wordt.

Bij de formule `y = 2(x - 1)^2 - 5` hoort een dalparabool met top `(1, text(-)5)` . Deze parabool snijdt de lijn `y=3` twee keer en heeft dus twee oplossingen.

Dat kun je ook als volgt bepalen.

De kwadratische vergelijking `2 (x - 1)^2 - 1 = 3` kun je herleiden tot `(x - 1)^2 = 4` . Omdat `4 gt 0` heeft de vergelijking twee oplossingen.

De kwadratische vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 18` kun je herleiden tot `(x - 3)^2 = text(-)6,5` . Omdat `text(-)6,5 lt 0` heeft de vergelijking geen oplossingen.

De kwadratische vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 0` kun je herleiden tot `(x-3)^2 = 2,5` . De vergelijking heeft twee oplossingen.

De vergelijking `text(-)2(x-3)^2 + 5 = 5` kun je herleiden tot `(x-3)^2 = 0` . De vergelijking heeft één oplossing.

`x = 10 vv x = text(-)10`

`(x - 4)^2 = 64` geeft `x-4 = +-8` , dus `x = text(-)4 vv x = 12` .

`text(-)3 (x + 1)^2 = text(-)75` geeft `(x + 1)^2 = 25` dus `x = text(-)6 vv x = 4` .

`3 (x + 2)^2 - 3 = 27` geeft `(x + 2)^2 = 10` en `x = text(-)2 - sqrt(10) vv x = text(-)2 + sqrt(10)` .

`2 x^2 - 7 = 0` geeft `x^2 = 3,5` en `x = text(-)sqrt(3,5) vv x = sqrt(3,5)` .

`(x - 4)^2 = 10` geeft `x = 4 +- sqrt(10)` .
Grafiek (dalparabool): `4 - sqrt(10) lt x lt 4 + sqrt(10)` .

`text(-)2 (x + 3)^2 + 10 = 4` geeft `(x+3)^2 = 3` en `x = 3 +- sqrt(3)` .
Grafiek (bergparabool): `x lt text(-)3 - sqrt(3) ∨ x gt text(-)3 + sqrt(3)` .

`3 (x - 5)^2 - 2 = 10` geeft `(x-5)^2 = 2` en `x = 5 +- 2` .
Grafiek (dalparabool): `x le 3 ∨ x ge 7` .

Eerst `text(-)8` eenheden verschuiven in de `x` -richting, dan herschalen in de `y` -richting met factor `2` en daarna `text(-)8` eenheden in de `y` -richting verschuiven.

Als je de laatste twee stappen verwisselt, krijg je `h (x) = 2 ((x + 8)^2 - 8) = 2 (x + 8)^2 - 16` . De grafiek van `h` ligt `8` lager dan die van  `f` . De volgorde is dus belangrijk.

Het minimum is `text(-)5` voor `x=text(-)3` .

`0,5 (x + 3)^2 = 10` geeft `(x + 3)^2 = 20` dus `x = text(-) 3 - sqrt(20) vv x = text(-) 3 + sqrt(20)` .

`0,5 (x + 3)^2 - 5 = text(-)5` geeft `(x + 3)^2 = 0` dus `x = text(-)3` .

`0,5 (x + 3)^2 - 5 = text(-)10` geeft `(x + 3)^2 = text(-)10` en er zijn dus geen oplossingen.

`0,5(x + 3)^2 - 5 = text(-)3` geeft `(x + 3)^2 = 4` en `x=text(-)1 vv x=text(-)5` .
Grafiek (dalparabool): ` x lt text(-)5 vv x gt text(-)1` .

`0,5 (x + 3)^2 - 5 = 0` geeft `(x + 3)^2 = text(-)10` en dus `x=text(-)3+-sqrt(10)` .
Grafiek (dalparabool): `text(-)3 - sqrt(10) lt x lt text(-)3 + sqrt(10)` .

De grafiek is een dalparabool met top `(text(-)3, text(-)5)` . Deze top en dus de hele parabool liggen boven de lijn `y=text(-)10`

Dus geldt de ongelijkheid voor  elke `x` .

Top is `(text(-)2 , 10)` en het is een bergparabool, dus dalend voor `x gt text(-)2` .

`text(-)3 (x + 2)^2 + 10 = 0` geeft `(x + 2)^2 = 10/3` en `x = text(-)2 +- sqrt(10/3)` .
Snijpunten met de `x` -as: `(text(-)3,83; 0)` en `(text(-)0,17; 0)` .

`5 - x^2 = text(-)21` geeft `x^2 = 26` en dus `x = +-sqrt(26)` .
Grafiek (bergparabool): `text(-)sqrt(26) lt x lt sqrt(26)` .

`text(-)4 (x + 80)^2 = text(-)60` geeft `(x + 80)^2 = 15` en `x = text(-)80 +- sqrt(15)` .
Grafiek (bergparabool): `text(-)80 - sqrt(15) lt x lt text(-)80 + sqrt(15)` .

Het is een bergparabool met maximum `c` voor `x = 3` .

De `y` -coördinaat van de top van de grafiek van `f` is `c` .

De grafiek van `f` is een bergparabool. Als de top boven de `x` -as ligt, dan snijdt de parabool de `x` -as twee keer. Dit is het geval als `c gt 0` .

De `y` -coördinaat van de top van de grafiek van `f` is `c` .

De grafiek van `f` is een bergparabool, dus als de grafiek van `f` de lijn `y=4` niet snijdt, moet gelden dat de top onder de lijn `y=4` moet liggen. Dus `c lt 4` .

Luchtweerstand en draaiing van de bal zijn van invloed op de baan.

De algemene formule van een parabool is `y = a(x-p)^2 + q` , waarin `(p, q)` de top is.
Hier is de top `(10; 1,5)` , dus `p=10` en `q=1,5` .

Ga uit van `h = a (x-10)^2 + 1,5`

Vul het punt `(0; 0,5)` in en bereken `a` uit `a(text(-)10)^2 + 1,5 = 0,05` .

Je vindt `a = text(-)0,01` .

Omdat `10 +sqrt(150) lt 24` is de bal in.

Top `(5 , 4 )` geeft: `h(x) = a (x-5)^2+4` .

Grafiek door `(0 ; 2,5)` , invullen van dit punt geeft: `25a+4 = 2,5` en dus `a=text(-)0,06` .

Conclusie: `h(x)=text(-)0,06 (x-5)^2 + 4` .

`text(-)0,06 (x-5)^2 + 4 = 3,05` geeft `(x-5)^2 = 15,833...` en dus `x ~~ 1,02 vv x~~8,98` .

Omdat je weet dat het een driepunter is, vervalt de eerste oplossing. De speler staat ongeveer `8,98` meter voor de basket.

Bergparabool met top `(0 , text(-)2)` .

Dalparabool met top `(4 , 8)` .

Bergparabool met top `(text(-)5, text(-)3)` .

`x = 4 ∨ x = 6`

`x = 5`

`x = text(-)5 ∨ x = text(-)3`

`x lt text(-)2 - sqrt(5) ∨ x gt text(-)2 + sqrt(5)`

`x lt text(-)4 - sqrt 3 ∨ x gt text(-)4 + sqrt3 `