Machtsfuncties > Totaalbeeld
123456Totaalbeeld

Examenopgaven

Opgave 7Diersoorten
Diersoorten

Het lijkt aannemelijk dat er een verband bestaat tussen de oppervlakte van een gebied en het aantal verschillende diersoorten dat in dat gebied voorkomt. Een theorie hierover stelt dat het aantal verschillende diersoorten op een eiland in een bepaalde klimaatzone alleen afhankelijk is van de oppervlakte van het eiland. In deze opgave kijken we naar de verschillende soorten reptielen op eilanden in het Caraïbisch gebied. Onderzoekers telden op vele eilanden het aantal verschillende soorten reptielen ( `S` ). In de volgende figuur zijn de gegevens van enkele eilanden weergegeven.

Volgens de theorie is het verband tussen de oppervlakte `A` van een eiland (in vierkante mijlen) en het aantal soorten reptielen ( `S` ) op dat eiland te beschrijven met de formule `S = 3 * A^(0,30)` . De lijn in de bovenstaande figuur is de grafiek die bij deze formule behoort.

a

Op het eiland Jamaica zijn meer soorten reptielen aangetroffen dan op grond van de theorie (de formule) verwacht mag worden. Hoeveel soorten reptielen zou een even groot eiland volgens de theorie hebben? Licht je antwoord toe.

b

Binnen de theorie geldt als ruwe regel: "Bij een `10` keer zo groot eiland vinden we `2` keer zoveel diersoorten." Laat zien dat dit uit de formule volgt.

c

Op een groot eiland worden veel verschillende soorten reptielen met uitsterven bedreigd. Men wil maatregelen nemen om de natuur te beschermen. Daarbij moet er een keuze worden gemaakt uit twee mogelijkheden:

  • Oprichting van `1` groot natuurreservaat met een oppervlakte van `400` vierkante mijlen.

  • Oprichting van `2` kleinere reservaten, elk met een oppervlakte van `200` vierkante mijlen. Dergelijke natuurreservaten liggen geïsoleerd in de bewoonde wereld en kunnen als "eilanden" beschouwd worden.

Voor het schatten van het aantal soorten reptielen dat in zo’n reservaat zal voorkomen kan de formule `S = 3 * A^(0,30)` gebruikt worden. Of voor `1` of `2` reservaten gekozen wordt, is mede afhankelijk van het aantal soorten dat de twee kleinere reservaten gemeen zullen hebben. Men neemt aan dat er `8` soorten reptielen zijn die zowel in het éne als het andere kleine reservaat zullen voorkomen. Men wil de mogelijkheden kiezen waarbij in totaal zoveel mogelijk verschillende soorten reptielen zullen voorkomen.

Welke van de twee mogelijkheden zal men kiezen? Licht je antwoord toe.

(bron: examen wiskunde A havo 1993, eerste tijdvak)

Opgave 8Houtindustrie
Houtindustrie

Een deel van de bossen in Nederland is bestemd voor de houtindustrie. Voordat een bos wordt gekapt, onderzoekt men meestal eerst hoeveel m3 hout het bos op zal leveren. Dit gebeurt aan de hand van de diameter en de hoogte van bomen. De diameter van een boom wordt gemeten op een vaste hoogte.

Voor het bepalen van de hoeveelheid hout in één boom wordt gebruikgemaakt van de volgende formule: `V = f * d^2 * h` met diameter `d` en hoogte `h` (beide in meters). In deze formule is `V` het volume aan hout in de boom in m3. De factor `f` heet de vormfactor. De vormfactor is een getal dat afhangt van de soort boom en de diameter `d` van de boom. Een voorbeeld van een boom die gebruikt wordt in de houtindustrie is de grove den (Pinus sylvestris). Zie de afbeelding.

Voor de grove den wordt het verband tussen de vormfactor `f` en de diameter `d` (m) bij benadering gegeven door de volgende formule: `f = 0,30*d^2 - 0,36*d + 0,46`

In een bos staat een grove den met een diameter van `0,16` m.

a

Bereken hoeveel procent de vormfactor van deze boom afneemt als de diameter van deze boom met `100` % toeneemt.

De grootste bekende diameter van een grove den is `1,2` m. Naarmate de diameter van een grove den groter is, is de hoogte ook groter. Voor de grove den geldt bij benadering het volgende verband tussen de hoogte `h` en de diameter `d` : `h = 44 * d^(0,65)` . Ook hier zijn de diameter en de hoogte in meters.

b

Een grove den van `40` m hoog wordt gekapt. Bereken hoeveel hout deze grove den volgens de formules bevat.

Op basis van de formule `f = 0,30*d^2 - 0,36*d + 0,46` en de formule `h = 44*d^(0,65)` kan de formule `V = f * d^2 * h` worden geschreven als `V = a*d^(4,65) + b*d^(3,65) + c*d^(2,65)` . Hierin zijn `a` , `b` en `c` constanten.

c

Toon aan dat `V` inderdaad geschreven kan worden als `V = a*d^(4,65) + b*d^(3,65) + c*d^(2,65)` en bereken `a` , `b` en `c` in twee decimalen nauwkeurig.

(naar: vwo examen wiskunde A in 2011, eerste tijdvak)

Opgave 9Marathon
Marathon

De Olympische hardloopwedstrijd met de grootste lengte is de marathon: ruim `42`  km, om precies te zijn `42195`  m. De marathon wordt zowel door mannen als door vrouwen gelopen. In deze opgave concentreren we ons op de marathonloopsters. De prestatie van een loopster geeft men in krantenberichten meestal weer door de tijd waarin de marathon is afgelegd, maar een even duidelijke maat is de gemiddelde snelheid over het gehele parcours. Dit noemen we kortweg de snelheid. Deze snelheid wordt uitgedrukt in m/s (meters per seconde). Een marathonloopster legt de marathon af in `2`  uur, `43`  minuten en `32`  seconden.

a

Bereken haar snelheid in m/s.

Elmer Sterken van de Rijksuniversiteit Groningen heeft onderzoek gedaan naar het verband tussen de snelheid van Amerikaanse marathonloopsters en hun leeftijden.

Je ziet een figuur uit het rapport dat hij daarover geschreven heeft. In deze figuur is voor iedere leeftijd weergegeven: "de hoogste snelheid ooit gelopen door een Amerikaanse" (zie de zigzaglijn). De geregistreerde leeftijden lopen van `6` tot en met `90` jaar.

De "zigzaglijn" in de figuur is benaderd door de grafiek met de formule: `v = 2,836*x^(0,665) - 1,390*x^(0,818)` . Hierin is `v` de hoogste snelheid in m/s van marathonloopsters met een leeftijd van `x` jaar. In de tweede figuur is de grafiek van `v` weergegeven.

In het vervolg van deze opgave beschouwen we deze laatste grafiek en de formule voor `v` als een wiskundig model van de werkelijkheid.
Petra loopt vaker een marathon en hoopt binnenkort de marathon binnen `3`  uur te volbrengen. Petra is `52` jaar.

b

Kan een `52` -jarige marathonloopster volgens dit model de marathon binnen `3` uur lopen? Licht je antwoord toe.

c

De grafiek van `v` heeft een maximum. Volgens het model is er dus blijkbaar een leeftijd waarop marathonloopsters (gemiddeld) het beste presteren. Onderzoek op welke leeftijd de prestatie het beste zou moeten zijn.

(bron: examen vwo wiskunde A in 2010, eerste tijdvak)

verder | terug