Periodieke functies > SinusfunctieUitleg
Een punt
`P`
draait linksom (tegen de klok in) over een cirkel met straal
`1`
, een eenheidscirkel.
Straal
`OP`
maakt een hoek
`α`
met de horizontale as vanuit
`O`
.
De hoogte
`h`
van punt
`P`
is:
`h = 1*sin(α) = sin(alpha)`
.
Dit is precies de
`y`
-coördinaat van punt
`P`
:
`y_P = h = sin(α)`
.
Als punt
`P`
zich onder de
`x`
-as bevindt, is
`y_P = sin(alpha)`
negatief.
`P`
kan ook rechtsom (met de klok mee) draaien. Op deze manier is de hoek
`α`
negatief. De sinus van zo’n negatieve hoek kan weer positief of negatief zijn.
Naast de eenheidscirkel zie je de grafiek van `y_P = sin(x)` . De grafiek ontstaat door voor elke draaihoek de sinus van die hoek uit te zetten op de verticale as. In plaats van `alpha` in graden wordt de hoek weergegeven door de bijbehorende booglengte `x` . De eenheid voor deze hoek heet radiaal, afgekort rad.
In een eenheidscirkel is de straal
`1`
en de omtrek dus
`2pi*1 = 2pi`
.
Dus bij
`360^@`
hoort
`2pi`
rad.
En bij
`180^@`
hoort
`pi`
rad.
Bij een booglengte van `1` op de eenheidscirkel hoort een hoek van `1` rad.
Hoeken worden vanaf nu, tenzij anders vermeld, gegeven in radialen. Je ziet:
`sin(pi) = 0`
,
`sin(1 1/2 pi) = text(-)1`
en
`sin(2 1/2 pi) = sin(2pi + 1/2 pi) = 1`
.
Om graden om te rekenen naar radialen gebruik je dat
`180^@ = pi`
rad.
En zo is
`40^@ = 40/180 π = 2/9 pi`
rad.
Bekijk de
Teken `P` als de draaihoek `α = 30^@` . Bereken de bijbehorende waarde van `h` . Hoeveel radialen is `α` ?
Teken `Q` als de draaihoek `α = 150^@` . Bereken `h` . Hoeveel radialen is `α` ?
Teken `R` als de draaihoek `α = 210^@` . Bereken `h` . Hoeveel radialen is `α` ?
Teken `S` als de draaihoek `α = 270^@` . Bereken `h` . Hoeveel radialen is `α` ?
Hoeveel radialen hoort er bij `360^@` ?
Bij welke draaihoeken is
`h = 1`
?
Geef je antwoord in graden en daarna in radialen.
Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van `y = sin(x)` . Neem `x` in graden en stel het venster zo in dat `text(-)360 ≤ x ≤ 720` en `text(-)1,5 ≤ y ≤ 1,5` .
Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?
Bereken `sin(30^@)` en `sin(390^@)` . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
Bereken `sin(30^@)` en `sin(150^@)` . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(30000^@)` ?
Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(text(-)10000^@)` ?
Teken met je grafische rekenmachine de grafiek van `y = sin(x)` . Neem `x` in radialen en stel het venster zo in dat `text(-)2π ≤ x ≤ 6π` en `text(-)1,5 ≤ y ≤ 1,5` .
Hoeveel periodes van de sinusgrafiek krijg je zo in beeld?
Bereken `sin(1)` en `sin(1 + 2π)` . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
Bereken `sin(1)` en `sin(π - 1)` . Leg uit waarom beide uitkomsten gelijk zijn.
Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(211,5π)` ?
Bij welke waarden van `x` vind je dezelfde uitkomst als `sin(text(-)1500π)` ?