Periodieke functies > Vergelijkingen met sinus
123456Vergelijkingen met sinus

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`x≈0,927 ∨x≈2,215 ∨x≈4,069 ∨x≈5,356`

c

`x≈0,927 +k*2 π∨x≈4,069 +k*2 π`

Opgave 1
a

Werk met de periode van `2pi` . Je vindt: `x~~0,927 vv x~~2,214 vv x~~7,210 vv x~~8,497` .

b

Voer in: `y_1=sin(x)` en `y_2=0,2`
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft: `x~~0,201`
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x~~2,940`
De periode van `y=sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x≈0,201 +k*2π vv x≈2,940 +k*2π`

c

Voer in: `y_1=sin(x)` en `y_2=text(-)0,2`
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft: `x~~text(-)0,201`
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x~~text(-)2,940`
Je kunt ook het antwoord op a gebruiken en de symmetrie van de grafiek van `y=sin(x)` om deze twee oplossingen te vinden.
De periode van `y=sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x≈text(-)0,201 +k*2π vv x≈text(-)2,940 +k*2π`

Opgave 2

Omdat `text(-)1 ≤sin(x)≤1` bestaat `arcsin(1,2)` niet.

Opgave 3
a

`x=arcsin(0,5 )+k*2 π ∨x=π -arcsin(0,5 )+k*2 π` , dus `x≈0,524 +k*2 π ∨x≈2,618 +k*2 π` .

b

`x=arcsin(text(-)0,5 )+k*2 π ∨x=π -arcsin(text(-)0,5 )+k*2 π` en dus `x≈text(-)0,524 +k*2 π ∨x≈text(-)2,618 +k*2 π` .

Opgave 4
a

`x=arcsin(0,6 )+k*2 π ∨x=π -arcsin(0,6 )+k*2 π` geeft: `x≈0,64 ∨x≈2,50 ∨x≈6,93 ∨x≈8,78` .

b

`0 ≤x≤0,64 ∨ 2,50 ≤x < 6,93 ∨ 8,78 < x≤ 2 π` . (Denk om de isgelijktekens die ontstaan door afronden!)

c

`3,79 ≤x≤5,64`

Opgave 5
a

Eerste oplossing: `x=arcsin(text(-)1/3)~~text(-)0,340` .
De andere oplossing in dezelfde periode is: `x=pi-arcsin(text(-)1/3)~~3,481` .
De oplossingen zijn: `x≈text(-)0,340 + k*2pi vv x≈3,481+k*2pi` .

b

`3 sin(x)+1 =2` geeft `sin(x)=1/3`
Voer in: `y_1=sin(x)` en `y_2=1/3`
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft: `x~~0,340`
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x~~2,802`
De periode van `y=sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x≈0,340 + k*2pi vv x≈2,802+k*2pi`

c

omdat `text(-)1 ≤sin(x)≤1`

Opgave 6

`sin(x)=text(-)0,75` geeft `x≈text(-)0,848` of `x≈text(-)2,294` of `x≈3,990` of `x≈5,435` . De ongelijkheid heeft als oplossing (gebruik een grafiek en let op de afrondingen): `text(-)2,094 ≤x < text(-)1,047 π` of `4,189 ≤x < 5,236` .

Opgave 7
a

`x=arcsin(0,35) +k*2 π vv x=pi-arcsin(0,35) +k*2 π` geeft `x≈0,358 +k*2 π vv x~~2,784 +k*2 π` .

b

`x=arcsin(text(-)0,35) +k*2 π vv x=pi-arcsin(text(-)0,35) +k*2 π` geeft `x≈text(-)0,358 + k*2pi vv x≈text(-)2,784+k*2pi` .

Opgave 8
a

`x=1/2π+k*2 π`

b

`x=1 +k*2 π∨x=π-1 +k*2 π`

c

`x=sin(1 )≈0,841`

Opgave 9
a

`f(x)=2*sin(x)-1=0` geeft `sin(x)=0,5` .
En `x=arcsin(0,5)+k*2pi vv x=pi-arcsin(0,5)+k*2pi` geeft `x~~0,52+k*2pi vv x~~2,62+k*2pi` .
Op het gegeven domein: `x~~text(-)5,76 vv x~~text(-)3,67 vv x≈0,52 ∨ x≈2,62` .

b

`f(x)=2*sin(x)-1=0,5` geeft `sin(x)=0,75` .
En `x=arcsin(0,75)+k*2pi vv x=pi-arcsin(0,75)+k*2pi` geeft `x~~0,85+k*2pi vv x~~2,29+k*2pi` .
Op het gegeven domein: `x~~text(-)5,44 vv x~~text(-)3,99 vv x≈0,85 ∨ x≈2,29` .

c

`text(-)1 le sin(x) le 1` en hieruit volgt `2*sin(x)-1 ge text(-)3` .
De kleinste waarde is `text(-)3` .

Opgave 10
a

`4*sin(x)-2=text(-)1` geeft `sin(x)=0,25` .
Dit geeft: `x=arcsin(0,25)+k*2pi vv x=pi-arcsin(0,25)+k*2pi` .
Ofwel: `x≈0,253+ k*2pi ∨ x≈2,889+k*2pi` .

b

`10+20*sin(x)=8` geeft `sin(x)=text(-)0,1` .
Dit geeft: `x=arcsin(text(-)0,1)+k*2pi vv x=pi-arcsin(text(-)0,1)+k*2pi` .
Ofwel: `x≈text(-)0,100+ k*2pi ∨ x≈3,242+k*2pi` .

Opgave 11
a

De grafiek van `g` is hetzelfde als de grafiek van `y=sin(x)` , alleen twee eenheden naar rechts verschoven. De periode is `2pi` .

b

`sin(x-2)=0,5` geeft `x-2=arcsin(0,5)+k*2pi vv x-2=pi-arcsin(0,5)+k*2pi` .

Dit wordt `x-2=0,524+k*2pi vv x-2=2,618+k*2pi` .

Dus binnen het domein: `x~~2,524 vv x ~~4,618` .

Of gebruik de GR: `y_1=sin(x-2)` en `y_2=0,5` met `0 le x le 2pi` en `text(-)1,5 le x le 1,5` .
Bepaal de snijpunten. die zitten bij: `x~~2,524 vv x ~~4,618`

Opgave 12
a

In decimeter.

b

Bij `x` in graden is de periode `360^@` .
Bij `x` in radialen is de periode `2pi` .

c

De eenheden van `h` en `x` zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar `2pi` is en geen `360` .

d

Het functievoorschrift wordt `h(x) = 100sin(x)` .
De grafiek schommelt nu tussen `text(-)100` en `100` op en neer.

Opgave 13
a

Gebruik GeoGebra, of een grafische rekenmachine.
Assen bijvoorbeeld `0 le x le 4pi` bij `text(-)10 le x le 10` .

b

`10*sin(x) = 5` geeft `sin(x) = 0,5` .

Dit betekent `x = 1/6pi + k*2pi vv x = 5/6pi + k*2pi` .

c

`10*sin(x) = text(-)5` geeft `sin(x) = text(-)0,5` .

Dit betekent `x = 1 1/6pi + k*2pi vv x = 1 5/6pi + k*2pi` .

Opgave 14
a

`x≈1,253 +k*2 π∨x≈1,888 +k*2 π`

b

`x≈text(-)1,253 +k*2 π∨x≈text(-)1,888 +k*2 π` .

Opgave 15
a

`f(x)=0` geeft `sin(x)=text(-)0,25` en dus `x≈text(-)0,253 +k*2 π∨x≈text(-)2,889 +k*2 π` . De gevraagde nulpunten zijn `(text(-)2,89 ; 0 ), (text(-)0,25 ; 0 ), (3,39 ; 0 )` en `(6,03 ; 0 )` .

b

`text(-)2,89 < x < text(-)0,25 ∨3,39 < x≤6,03` .

verder | terug