Periodieke functies > Vergelijkingen met sinus
123456Vergelijkingen met sinus

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`x≈0,927 ∨ x≈2,215 ∨ x≈4,069 ∨ x≈5,356`

c

`x ≈ 0,927 + k*2π ∨ x ≈ 4,069 + k*2π`

Opgave 1
a

Werk met de periode van `2pi` . Je vindt: `x~~0,927 vv x~~2,214 vv x~~7,210 vv x~~8,497` .

b

Voer in: `y_1 = sin(x)` en `y_2 = 0,2` .
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft: `x~~0,201` .
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x~~2,940` .
De periode van `y = sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x ≈ 0,201 + k*2π vv x ≈ 2,940 + k*2π`

c

Voer in: `y_1 = sin(x)` en `y_2 = text(-)0,2` .
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt of gebruik de arcsin-knop.
Dit geeft: `x~~text(-)0,201` .
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x~~text(-)2,940` .
Je kunt ook het antwoord op a gebruiken en de symmetrie van de grafiek van `y = sin(x)` om deze twee oplossingen te vinden.
De periode van `y = sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x ≈ text(-)0,201 + k*2π vv x ≈ text(-)2,940 + k*2π`

Opgave 2

Omdat `text(-)1 ≤ sin(x) ≤ 1` bestaat `arcsin(1,2)` niet.

Opgave 3
a

`x = arcsin(0,5) + k*2π ∨ x = π - arcsin(0,5) + k*2 π` , dus `x ≈ 0,524 + k*2π ∨ x ≈ 2,618 + k*2π` .

b

`x = arcsin(text(-)0,5) + k*2π ∨ x = π - arcsin(text(-)0,5) + k*2π` en dus `x ≈ text(-)0,524 + k*2π ∨ x ≈ text(-)2,618 + k*2π` .

Opgave 4
a

`x = arcsin(0,6) + k*2π ∨ x = π - arcsin(0,6) + k*2π` geeft: `x≈0,64 ∨ x≈2,50 ∨ x≈6,93 ∨ x≈8,78` .

b

`0 ≤ x ≤ 0,64 ∨ 2,50 ≤ x lt 6,93 ∨ 8,78 lt x ≤ 2 π` . (Denk om de isgelijktekens die ontstaan door afronden!)

c

`3,79 ≤ x ≤ 5,64`

Opgave 5
a

Eerste oplossing: `x = arcsin(text(-)1/3)~~text(-)0,340` .
De andere oplossing in dezelfde periode is: `x = pi - arcsin(text(-)1/3) ~~ 3,481` .
De oplossingen zijn: `x ≈ text(-)0,340 + k*2pi vv x ≈ 3,481 + k*2pi` .

b

`3 sin(x) + 1 = 2` geeft `sin(x) = 1/3`
Voer in: `y_1 = sin(x)` en `y_2 = 1/3` .
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft: `x ~~ 0,340` .
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft: `x ~~ 2,802` .
De periode van `y = sin(x)` is `2pi` . De oplossingen zijn:
`x ≈ 0,340 + k*2pi vv x ≈ 2,802 + k*2pi`

c

Omdat `text(-)1 ≤ sin(x) ≤ 1` .

Opgave 6

`sin(x) = text(-)0,75` geeft `x ≈ text(-)0,848` of `x ≈ text(-)2,294` of `x ≈ 3,990` of `x ≈ 5,435` . De ongelijkheid heeft als oplossing (gebruik een grafiek en let op de afrondingen): `text(-)2,094 le x lt text(-)1,047 π` of `4,189 le x lt 5,236` .

Opgave 7
a

`x = arcsin(0,35) + k*2π vv x = pi - arcsin(0,35) + k*2π` geeft `x ≈ 0,358 + k*2π vv x ~~ 2,784 + k*2π` .

b

`x = arcsin(text(-)0,35) + k*2π vv x = pi - arcsin(text(-)0,35) + k*2π` geeft `x ≈ text(-)0,358 + k*2pi vv x ≈ text(-)2,784 + k*2pi` .

Opgave 8
a

`x = 1/2 π + k*2π`

b

`x = 1 + k*2π ∨ x = π - 1 + k*2π`

c

`x = sin(1) ≈ 0,841`

Opgave 9
a

`f(x) = 2*sin(x)-1 = 0` geeft `sin(x) = 0,5` .
En `x = arcsin(0,5) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,5) + k*2pi` geeft `x ~~ 0,52 + k*2pi vv x ~~ 2,62 + k*2pi` .
Op het gegeven domein: `x~~text(-)5,76 vv x~~text(-)3,67 vv x≈0,52 ∨ x≈2,62` .

b

`f(x) = 2*sin(x) - 1 = 0,5` geeft `sin(x) = 0,75` .
En `x = arcsin(0,75) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,75) + k*2pi` geeft `x ~~ 0,85 + k*2pi vv x ~~ 2,29 + k*2pi` .
Op het gegeven domein: `x~~text(-)5,44 vv x~~text(-)3,99 vv x≈0,85 ∨ x≈2,29` .

c

`text(-)1 le sin(x) le 1` en hieruit volgt `2*sin(x) - 1 ge text(-)3` .
De kleinste waarde is `text(-)3` .

Opgave 10
a

`4*sin(x)-2 = text(-)1` geeft `sin(x) = 0,25` .
Dit geeft: `x = arcsin(0,25) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,25) + k*2pi` .
Ofwel: `x ≈ 0,253 + k*2pi ∨ x ≈ 2,889 + k*2pi` .

b

`10 + 20*sin(x) = 8` geeft `sin(x) = text(-)0,1` .
Dit geeft: `x = arcsin(text(-)0,1) + k*2pi vv x = pi - arcsin(text(-)0,1) + k*2pi` .
Ofwel: `x ≈ text(-)0,100 + k*2pi ∨ x ≈ 3,242 + k*2pi` . Ofwel: `x ≈ text(-)0,100 + k*2pi ∨ x ≈ 3,242 + k*2pi` .

Opgave 11
a

De grafiek van `g` is hetzelfde als de grafiek van `y = sin(x)` , alleen twee eenheden naar rechts verschoven. De periode is `2pi` .

b

`sin(x-2) = 0,5` geeft `x-2 = arcsin(0,5) + k*2pi vv x-2 = pi - arcsin(0,5) + k*2pi` .

Dit wordt `x-2 ~~ 0,524 + k*2pi vv x-2 ~~ 2,618 + k*2pi` .

Dus binnen het domein: `x~~2,524 vv x ~~4,618` .

Of gebruik de GR: `y_1 = sin(x-2)` en `y_2 = 0,5` met `0 le x le 2pi` en `text(-)1,5 le x le 1,5` .
Bepaal de snijpunten. die zitten bij: `x~~2,524 vv x ~~4,618` .

Opgave 12
a

In decimeter.

b

Bij `x` in graden is de periode `360^@` .
Bij `x` in radialen is de periode `2pi` .

c

De eenheden van `h` en `x` zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar `2pi` is en geen `360` .

d

Het functievoorschrift wordt `h(x) = 100sin(x)` .
De grafiek schommelt nu tussen `text(-)100` en `100` op en neer.

Opgave 13
a

Gebruik GeoGebra, of een grafische rekenmachine.
Assen bijvoorbeeld `0 le x le 4pi` bij `text(-)10 le x le 10` .

b

`10*sin(x) = 5` geeft `sin(x) = 0,5` .

Dit betekent `x = 1/6 pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi` .

c

`10*sin(x) = text(-)5` geeft `sin(x) = text(-)0,5` .

Dit betekent `x = 1 1/6 pi + k*2pi vv x = 1 5/6 pi + k*2pi` .

Opgave 14
a

`x ≈ 1,253 + k*2π ∨ x ≈ 1,888 + k*2π`

b

`x ≈ text(-)1,253 + k*2π ∨ x ≈ text(-)1,888 + k*2π` .

Opgave 15
a

`f(x) = 0` geeft `sin(x) = text(-)0,25` en dus `x ≈ text(-)0,253 + k*2π ∨ x ≈ text(-)2,889 + k*2π` . De gevraagde nulpunten zijn `(text(-)2,89 ; 0)` , `(text(-)0,25 ; 0)` , `(3,39 ; 0)` en `(6,03 ; 0)` .

b

`text(-)2,89 < x < text(-)0,25 ∨ 3,39 < x le 6,03` .

verder | terug