`x≈0,927 ∨ x≈2,215 ∨ x≈4,069 ∨ x≈5,356`
`x ≈ 0,927 + k*2π ∨ x ≈ 4,069 + k*2π`
Werk met de periode van `2pi` . Je vindt: `x~~0,927 vv x~~2,214 vv x~~7,210 vv x~~8,497` .
Voer in:
`y_1 = sin(x)`
en
`y_2 = 0,2`
.
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de
`y`
-as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft:
`x~~0,201`
.
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft:
`x~~2,940`
.
De periode van
`y = sin(x)`
is
`2pi`
. De oplossingen zijn:
`x ≈ 0,201 + k*2π vv x ≈ 2,940 + k*2π`
Voer in:
`y_1 = sin(x)`
en
`y_2 = text(-)0,2`
.
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de
`y`
-as ligt of gebruik de arcsin-knop.
Dit geeft:
`x~~text(-)0,201`
.
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft:
`x~~text(-)2,940`
.
Je kunt ook het antwoord op a gebruiken en de symmetrie van de grafiek van
`y = sin(x)`
om deze twee oplossingen te vinden.
De periode van
`y = sin(x)`
is
`2pi`
. De oplossingen zijn:
`x ≈ text(-)0,201 + k*2π vv x ≈ text(-)2,940 + k*2π`
Omdat `text(-)1 ≤ sin(x) ≤ 1` bestaat `arcsin(1,2)` niet.
`x = arcsin(0,5) + k*2π ∨ x = π - arcsin(0,5) + k*2 π` , dus `x ≈ 0,524 + k*2π ∨ x ≈ 2,618 + k*2π` .
`x = arcsin(text(-)0,5) + k*2π ∨ x = π - arcsin(text(-)0,5) + k*2π` en dus `x ≈ text(-)0,524 + k*2π ∨ x ≈ text(-)2,618 + k*2π` .
`x = arcsin(0,6) + k*2π ∨ x = π - arcsin(0,6) + k*2π` geeft: `x≈0,64 ∨ x≈2,50 ∨ x≈6,93 ∨ x≈8,78` .
`0 ≤ x ≤ 0,64 ∨ 2,50 ≤ x lt 6,93 ∨ 8,78 lt x ≤ 2 π` . (Denk om de isgelijktekens die ontstaan door afronden!)
`3,79 ≤ x ≤ 5,64`
Eerste oplossing:
`x = arcsin(text(-)1/3)~~text(-)0,340`
.
De andere oplossing in dezelfde periode is:
`x = pi - arcsin(text(-)1/3) ~~ 3,481`
.
De oplossingen zijn:
`x ≈ text(-)0,340 + k*2pi vv x ≈ 3,481 + k*2pi`
.
`3 sin(x) + 1 = 2`
geeft
`sin(x) = 1/3`
Voer in:
`y_1 = sin(x)`
en
`y_2 = 1/3`
.
Bepaal een oplossing die zo dicht mogelijk bij de
`y`
-as ligt. Je kunt ook de arcsin-knop gebruiken.
Dit geeft:
`x ~~ 0,340`
.
Bepaal de andere oplossing in dezelfde periode.
Dit geeft:
`x ~~ 2,802`
.
De periode van
`y = sin(x)`
is
`2pi`
. De oplossingen zijn:
`x ≈ 0,340 + k*2pi vv x ≈ 2,802 + k*2pi`
Omdat `text(-)1 ≤ sin(x) ≤ 1` .
`sin(x) = text(-)0,75` geeft `x ≈ text(-)0,848` of `x ≈ text(-)2,294` of `x ≈ 3,990` of `x ≈ 5,435` . De ongelijkheid heeft als oplossing (gebruik een grafiek en let op de afrondingen): `text(-)2,094 le x lt text(-)1,047 π` of `4,189 le x lt 5,236` .
`x = arcsin(0,35) + k*2π vv x = pi - arcsin(0,35) + k*2π` geeft `x ≈ 0,358 + k*2π vv x ~~ 2,784 + k*2π` .
`x = arcsin(text(-)0,35) + k*2π vv x = pi - arcsin(text(-)0,35) + k*2π` geeft `x ≈ text(-)0,358 + k*2pi vv x ≈ text(-)2,784 + k*2pi` .
`x = 1/2 π + k*2π`
`x = 1 + k*2π ∨ x = π - 1 + k*2π`
`x = sin(1) ≈ 0,841`
`f(x) = 2*sin(x)-1 = 0`
geeft
`sin(x) = 0,5`
.
En
`x = arcsin(0,5) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,5) + k*2pi`
geeft
`x ~~ 0,52 + k*2pi vv x ~~ 2,62 + k*2pi`
.
Op het gegeven domein:
`x~~text(-)5,76 vv x~~text(-)3,67 vv x≈0,52 ∨ x≈2,62`
.
`f(x) = 2*sin(x) - 1 = 0,5`
geeft
`sin(x) = 0,75`
.
En
`x = arcsin(0,75) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,75) + k*2pi`
geeft
`x ~~ 0,85 + k*2pi vv x ~~ 2,29 + k*2pi`
.
Op het gegeven domein:
`x~~text(-)5,44 vv x~~text(-)3,99 vv x≈0,85 ∨ x≈2,29`
.
`text(-)1 le sin(x) le 1`
en hieruit volgt
`2*sin(x) - 1 ge text(-)3`
.
De kleinste waarde is
`text(-)3`
.
`4*sin(x)-2 = text(-)1`
geeft
`sin(x) = 0,25`
.
Dit geeft:
`x = arcsin(0,25) + k*2pi vv x = pi - arcsin(0,25) + k*2pi`
.
Ofwel:
`x ≈ 0,253 + k*2pi ∨ x ≈ 2,889 + k*2pi`
.
`10 + 20*sin(x) = 8`
geeft
`sin(x) = text(-)0,1`
.
Dit geeft:
`x = arcsin(text(-)0,1) + k*2pi vv x = pi - arcsin(text(-)0,1) + k*2pi`
.
Ofwel:
`x ≈ text(-)0,100 + k*2pi ∨ x ≈ 3,242 + k*2pi`
.
Ofwel:
`x ≈ text(-)0,100 + k*2pi ∨ x ≈ 3,242 + k*2pi`
.
De grafiek van `g` is hetzelfde als de grafiek van `y = sin(x)` , alleen twee eenheden naar rechts verschoven. De periode is `2pi` .
`sin(x-2) = 0,5` geeft `x-2 = arcsin(0,5) + k*2pi vv x-2 = pi - arcsin(0,5) + k*2pi` .
Dit wordt `x-2 ~~ 0,524 + k*2pi vv x-2 ~~ 2,618 + k*2pi` .
Dus binnen het domein: `x~~2,524 vv x ~~4,618` .
Of gebruik de GR:
`y_1 = sin(x-2)`
en
`y_2 = 0,5`
met
`0 le x le 2pi`
en
`text(-)1,5 le x le 1,5`
.
Bepaal de snijpunten. die zitten bij:
`x~~2,524 vv x ~~4,618`
.
In decimeter.
Bij
`x`
in graden is de periode
`360^@`
.
Bij
`x`
in radialen is de periode
`2pi`
.
De eenheden van
`h`
en
`x`
zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar
`2pi`
is en geen
`360`
.
Het functievoorschrift wordt
`h(x) = 100sin(x)`
.
De grafiek schommelt nu tussen
`text(-)100`
en
`100`
op en neer.
Gebruik GeoGebra, of een grafische rekenmachine.
Assen bijvoorbeeld
`0 le x le 4pi`
bij
`text(-)10 le x le 10`
.
`10*sin(x) = 5` geeft `sin(x) = 0,5` .
Dit betekent `x = 1/6 pi + k*2pi vv x = 5/6 pi + k*2pi` .
`10*sin(x) = text(-)5` geeft `sin(x) = text(-)0,5` .
Dit betekent `x = 1 1/6 pi + k*2pi vv x = 1 5/6 pi + k*2pi` .
`x ≈ 1,253 + k*2π ∨ x ≈ 1,888 + k*2π`
`x ≈ text(-)1,253 + k*2π ∨ x ≈ text(-)1,888 + k*2π` .
`f(x) = 0` geeft `sin(x) = text(-)0,25` en dus `x ≈ text(-)0,253 + k*2π ∨ x ≈ text(-)2,889 + k*2π` . De gevraagde nulpunten zijn `(text(-)2,89 ; 0)` , `(text(-)0,25 ; 0)` , `(3,39 ; 0)` en `(6,03 ; 0)` .
`text(-)2,89 < x < text(-)0,25 ∨ 3,39 < x le 6,03` .