Periodieke functies > Vergelijkingen met sinus
123456Vergelijkingen met sinus

Uitleg

Bekijk de grafiek van `y=sin(x)` en de lijn `y=0,8` .

De lijn `y=0,8` snijdt de grafiek van `y=sin(x)` meerdere malen, er zijn dus meerdere oplossingen voor de vergelijking `sin(x)=0,8` . Per periode zijn er twee oplossingen. Als je voor `x` alle getallen toelaat zijn er zelfs oneindig veel oplossingen.

Je wilt `sin(x)=0,8` oplossen:

  • Zoek eerst de oplossing die zo dicht mogelijk bij de `y` -as ligt. Deze oplossing heet arcsinus van `0,8` : `x=arcsin(0,8 )≈0,927` .
    Je (grafische) rekenmachine heeft een knop die voor arcsinus berekent, meestal aangeduid door `sin^(text(-)1)` .

  • Bepaal daarna de andere oplossing in dezelfde periode. Je gebruikt de symmetrie van de sinusgrafiek.
    Die oplossing is: `x = π - arcsin(0,8)~~2,214` .

  • Gebruik de periode om alle oplossingen op te schrijven.
    De periode is `2pi` , de oplossingen zijn:
    `x~~0,927+k*2 π vv x~~2,214+k*2 π` met `k` een geheel getal
    Op het interval `text(-)2pi le x le 2pi` zijn de oplossingen:
    `x~~text(-)5,356 vv x~~text(-)4,069 vv x~~0,927 vv x~~2,214`

Bijzondere gevallen zijn:
`sin(x)=1` geeft `x=1/2π+k*2 π`
`sin(x)=text(-)1` geeft `x=text(-) 1/2π+k*2 π`
`sin(x)=0` geeft `x=0+k*2π vv x=π+k*2π`
Voeg dit samen tot: `x=k*π`

Als in `sin(x)=c` , de `c` groter is dan `1` of kleiner is dan `text(-)1` , dan zijn er geen oplossingen.

Opgave 1

Bekijk de Uitleg

a

Welke oplossingen heeft `sin(x)=0,8` als `0 le x le 4pi` ?

b

Los op: `sin(x)=0,2` .

c

Los op: `sin(x)=text(-)0,2`

Opgave 2

Waarom heeft `sin(x)=1,2` geen oplossingen?

verder | terug