`2/3 pi` rad
`17/9 pi` rad
`150^@`
`~~47,75^@`
`8`
`f(36) = 5` en `f(2449) = 2,5`
`f(text(-)250,5) = 2,5`
`x = 1,5 + k*8 vv x = 5,25 + k*8`
`94 le x le 96`
De periode is `8` , de evenwichtsstand is `200` , de amplitude is `50` .
Voer in `y_1 = 50 sin(1/4 pi(x - 1)) + 200` met `0 le x le 30` en `150 le x le 250` .
`3,75`
`0 le x le 0,476 vv 5,524 le x le 8,476 vv 13,524 le x le 16,476 vv 21,524 le x le 24,476 vv 29,524 le x le 30`
I:
`y = sin(1/3 pi(x - 4,5))`
II:
`y = sin(1/3 π x) + 0,5`
III:
`y = 1,5 sin(1/2 pi x) + 1,5`
De amplitude van de grafiek van de gegeven functie is
`1,5`
. De amplitude van de getijdenbeweging is maximaal
`1,4*1,5 = 2,1`
meter.
De gemiddelde waterhoogte onder normale omstandigheden is
`0,4`
m. De gemiddelde hoogte onder niet-normale omstandigheden is maximaal
`0,4 + 2,5 = 2,9`
m.
De dijk zou minimaal een hoogte van
`2,10 + 2,90 = 5,00`
m moeten hebben.
Zie de figuur, neem
`N`
voor het midden van
`AB`
.
Dan is
`NM = 1/4 h`
en
`MB = 1/2 h`
, dus
`cos(/_ NMB) = (1/4 h)/(1/2 h) = 1/2`
en
`/_ NMB = 60^@`
.
Dus
`∠AMB = 120^@`
en boog
`AB`
is een derde deel van de hele cirkel. Dus ongeveer
`33`
% van de tijd.
Zie figuur, dit is een periodieke grafiek.
Kies voor sinusvorm. Het beginpunt 1 april is
`t=91`
.
Miami:
`l(t) = 12 + 1,5 sin((2π)/365 (t - 91))`
.
San Francisco:
`l(t) = 12,25 + 2,5 sin((2π)/365 (t - 91))`
.
Chicago:
`l(t) = 12,25 + 2,75 sin((2π)/365 (t - 91))`
.
Winnipeg:
`l(t) = 12,25 + 3,75 sin((2π)/365 (t - 91 ))`
.
Omstreeks 1 juli de langste en omstreeks 1 januari de kortste dag.
Miami:
`0`
.
San Francisco:
`110`
.
Chicago:
`140`
.
Winnipeg:
`160`
.
Doen.
Omlooptijd Callisto is `(2π)/(0,365) ≈ 17,2` dagen.
Ganymedes: `u(t) = 15 sin(0,85(t - 10))` .
Ganymedes zit achter Jupiter als hij van west naar oost beweegt en
`text(-)1 ≤ u(t) ≤ 1`
.
`u(t) = 1`
geeft
`t ≈ 10,1 + k*7,4 ∨ t ≈ 13,6 + k*7,4`
.
`u(t) = text(-)1`
geeft
`t ≈ 9,9 + k*7,4 ∨ t ≈1 3,8 + k*7,4`
.
Ganymedes gaat achter Jupiter op bijvoorbeeld
`t≈13,6`
en komt er dan weer achter weg op
`t≈13,8`
.
Ganymedes zit dus ongeveer
`0,2`
dagen achter Jupiter.
`a = 50` en `b = (2π)/8 ≈ 0,2244` .
`sinx = text(-)1/2`
geeft in de eerste periode
`x = 7/6 π`
of
`x = 11/6 π`
.
`(11/6 π - 7/6 π)/(2π) = 1/3`
dus
`33`
% van de periode
Bij de fysieke toestand hoort de formule
`F = 50 sin((2π)/23 t)`
.
De fysieke toestand heeft op de eerste verjaardag een stijgend verloop. Dit is bijvoorbeeld
te zien aan de grafiek of de tabel van de functie of van de hellingfunctie bij een
domein rond
`365`
dagen.
De formules
`F = 50 sin((2π)/23 t)`
en
`I = 50 sin((2π)/33 t)`
in de GR invoeren.
De GR instellen op een domein vanaf (bijvoorbeeld)
`6570`
dagen en op de GR de bij
`F`
en
`I`
horende grafieken of tabellen raadplegen. De 6579e, 6580e en 6581e dag zijn geschikt,
dus het antwoord is: de 5e, 6e en 7e januari 2001.
(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2000, eerste tijdvak)
Je vindt achtereenvolgens: 4:45, 4:55, 4:55, 4:50, 5:00 en 4:56 uur.
Gemiddeld is dat 4:53,5 uur. Dat wijkt niet meer dan twee minuten af.
De snelste stijging vindt plaats op het passeren van de evenwichtsstand van laag naar hoog water. Dat gebeurt als `t = 2,46` uur.
Omdat het tussenliggende dalende deel een totaal andere periode heeft.
De periode is `(12,42 - 4,92)*2 = 15` uur.
Dus is `a = (2pi)/(15)~~ 0,42` en `b = 4,92 - 0,25*15 ~~ 1,17` .
Op
`3`
juli 1989 omstreeks 8:00 uur 's ochtends zit je in de stijging van
`text(-)99`
cm naar
`105`
, dus
`S = 204`
cm. Die stijging vindt plaats in
`5`
uur tijd en dit zijn
`6`
tijdvakken van
`50`
minuten.
Van 4:40 tot 5:30 (eerste tijdvak) is de stijging
`204/12 = 17`
cm.
Van 5:30 tot 6:20 (tweede tijdvak) is de stijging
`2*204/12 = 34`
cm.
Van 6:20 tot 8:00 (derde en vierde tijdvak) is de stijging
`6*204/12 = 102`
cm.
Totale waterhoogte om 8:00 is
`text(-)99+17+34+102 = 76`
cm.
(bron: examen wiskunde A vwo 1992, tweede tijdvak)
`4` meter
`2,535 - 1,465 = 1,07` m.
`1` meter vanaf begin.
`a = b = 0,07`
`c = (2pi)/12`
`d=3`
(bron: voorbeeldexamenopgave vwo A)
Aflezen uit de figuur: de periode is ongeveer `51` jaar. In `1913 + 2*51 = 2015` is er een maximum. In 1989 (of 1990) is er een minimum Het crisisjaar 2009 ligt vlak voor de top, (dus ligt 2009 niet in een periode van economische neergang).
Tussen 1950 en 2050 heeft de golfbeweging volgens Barker maxima voor
`t ≈ 1981`
en
`t ≈ 2044`
en een minimum voor
`t ≈ 2012`
.Tussen 1950 en 2050 heeft de golfbeweging volgens Kondratieff maxima voor
`t ≈ 1964`
en
`t ≈2015`
en minima voor
`t ≈ 1989`
en
`t ≈ 2040`
.
Het antwoord: in de perioden 1964 tot 1981; 1989 tot 2012; 2015 tot 2040 en 2044 tot
2050.
`K = sin((2pi)/51 (t -1951))`
zomer
2072
(bron: voorbeeldexamenopgave vwo A)
In de maand oktober is het absolute verschil tussen model en het werkelijke gemiddelde
het grootst. En in de maanden waar het model nog lagere waarden heeft dan de modelwaarde
van oktober, is het verschil tussen model en het werkelijke gemiddelde duidelijk relatief
kleiner dan dat verschil in oktober.
Het verschil tussen het werkelijke gemiddelde en model in oktober is
`65-48 = 17`
kWh.
De werkelijke gemiddelde maandopbrengst is
`17/48*100 ~~ 35`
% hoger dan die van het model.
De formule is van de vorm
`M = a*sin(b(t - c)) + d`
.
Het maximum is
`129`
en het minimum is
`19`
. Je antwoord mag wat afwijken.
De periode is
`12`
, dit geeft
`b = (2pi)/12 ~~ 0,52`
.
De evenwichtsstand
`(129+19)/2 = 74`
, dit geeft
`d = 74`
.
De amplitude is
`129-74 = 55`
, dit geeft
`a = 55`
.
De grafiek gaat bij
`t = 3`
door de evenwichtsstand omhoog. Dit geeft
`c = 3`
.
De formule is:
`M = 55 sin(0,52(t - 3)) + 74`
.
Voer in:
`y_1 = 6,34 + 4,19sin(0,0172(t-74))`
en
`y_2 = 10`
.
Venster:
`0 le x le 365`
en
`0 le y le 12`
.
De snijpunten zitten bij:
`x~~135,77`
en
`x~~194,89`
.
De gemiddelde dagopbrengst volgens deze formule is
`194,9-135,8~~59`
groter dan
`10`
kWh.
(bron: pilotexamen vwo wiskunde A in 2016, tweede tijdvak)