Periodieke functies > TotaalbeeldExamenopgaven
Op een pagina op Internet staat te lezen dat ons leven beheerst wordt door een drietal
toestanden, namelijk door onze fysieke, onze emotionele en onze intellectuele toestand.
Op de ene dag voel je je fysiek (lichamelijk) beter dan op een andere dag. Deze
"fysieke toestand"
kunnen we weergeven op een schaal van
`text(-)50`
(fysiek op dieptepunt) tot
`+50`
(fysiek opperbest). Deze fysieke toestand varieert in de tijd volgens een sinusoïde.
Ook de
"emotionele toestand"
en de
"intellectuele toestand"
variëren op een schaal van
`text(-)50`
tot
`+50`
volgens een sinusoïde. Zie figuur.
Bij de geboorte van een mens zou elke cyclus zich in dezelfde begintoestand bevinden,
zoals is weergegeven in de figuur. Tezamen bepalen de drie cycli het zogenaamde bioritme
van een mens. Sommigen beweren dat het bioritme volledig vastlegt tot welke prestaties
een mens op een bepaald moment in staat is. Zo zou je bijvoorbeeld kunnen uitrekenen
op welke dag je het best kunt solliciteren.
Voor de fysieke cyclus is de periode
`23`
dagen, voor de emotionele cyclus
`28`
dagen en voor de intellectuele cyclus is de periode
`33`
dagen.
Het bioritme in de figuur betreft een pasgeboren baby. `E` is de emotionele toestand van de baby `t` dagen na de geboorte. Hierbij hoort een formule van de vorm `E = a sin(bt)` .
Geef de waarden van `a` en `b` .
Zodra de emotionele toestand beneden `text(-)25` komt, zou het moeilijker worden om de emoties onder controle te houden.
Hoeveel procent van een periode heeft de emotionele toestand een waarde die kleiner is dan `text(-)25` ? Licht je antwoord toe.
`F` is de fysieke toestand van de baby. Onderzoek of `F` op de eerste verjaardag een dalend of een stijgend verloop heeft.
Annelies is op 1 januari 1983 geboren. Op 1 januari 2001 wordt ze dus 18 jaar. Vanaf die dag mag ze rijexamen doen. Ze wil dat doen op een dag waarop zowel haar fysieke als haar intellectuele toestand positief is. (De jaren 1984, 1988, 1992, 1996 en 2000 hebben een dag extra, dus `366` dagen.)
Onderzoek welke de eerste drie dagen van januari 2001 zijn die voor het rijexamen in aanmerking komen.
(bron: examen wiskunde B1,2 havo 2000, eerste tijdvak)
De staatsuitgeverij publiceert elk jaar de Getijdentabellen voor Nederland. Daarin worden voor een aantal kustplaatsen zowel de dagelijkse tijdstippen voor hoogwater en laagwater als de verwachte hoogten (in centimeters) ten opzicht van Normaal Amsterdams Peil (NAP) vermeld. De volgende tabel is ontleend aan zo'n Getijdentabel. Hierin kan bijvoorbeeld worden afgelezen dat hoogwater te Harlingen op 1 juli 1989 verwacht werd op zowel het tijdstip 7 uur en 24 minuten ('s ochtends) als het tijdstip 20 uur en 4 minuten ('s avonds).
Door de gegevens over zeer lange tijd te middelen, krijgt men voor Harlingen de gemiddelde getijkromme die is weergegeven in de figuur.
Uit de tabel kan voor zes gevallen de tijdsduur worden berekend die verstrijkt van laagwater tot het eerstvolgende hoogwater.
Onderzoek met een berekening of het gemiddelde van die tijdsduren meer dan twee minuten afwijkt van de in de grafiek vermelde gemiddelde duur van 4 uur en 55 minuten.
De vorm van de grafiek laat duidelijk zien dat een model voor de gemiddelde getijdenbeweging dat uitgaat van één enkele sinusoïde niet erg realistisch is. Beter is het om het stijgende deel `AB` en het dalende deel `BC` elk met een afzonderlijke sinusoïde te beschrijven. Omdat de tijdsduur van 4 uur en 55 minuten ongeveer overeen komt met `4,92` uur, geldt voor de waterhoogte ( `h` ) voor waarden van `t` tussen `0` en `4,92` bij benadering:
`h = 100,5 * sin(0,64(t - 2,46)) + 2,5`
Bereken uitgaande van dit model op welk tijdstip het water het snelst stijgt.
Waarom gaat dit model niet op voor het stijgende deel van de grafiek na `t = 12,42` ?
Voor het dalende deel `BC` geldt bij benadering `h = 100,5 * sin(a(t - b)) + 2,5` .
Bereken `a` en `b` in twee decimalen nauwkeurig.
In de praktijk gebruikt men in combinatie met de Getijdentabellen voor het benaderen van de waterstand soms de twaalfdelenregel. Bij opkomend getij let men op de stijging ( `S` ) van de waterhoogte gerekend vanaf de laagwaterstand tot de eerstvolgende hoogwaterstand. De periode van opkomend getij wordt verdeeld in zes even grote tijdvakken en men veronderstelt:
-
in het eerste en het zesde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `1/12` deel van `S` toe;
-
in het tweede en het vijfde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `2/12` deel van `S` toe;
-
in het derde en het vierde tijdvak neemt de waterhoogte gelijkmatig met `3/12` deel van `S` toe.
Benader met de twaalfdenregel en de gegevens van de tabel de waterhoogte te Harlingen op `3` juli 1989 omstreeks 8:00 uur 's ochtends.
(bron: examen wiskunde A vwo 1992, tweede tijdvak)
In België zijn vorm en afmetingen van verkeersdrempels sinds 1983 wettelijk vastgelegd. Het zijaanzicht van een verkeersdrempel heeft een sinusvorm. Zie de onderstaande figuur.
Voor de verkeersdrempel van de figuur hierboven, die hoort bij een maximumsnelheid van `30` km/uur, is de volgende formule opgesteld: `h = 0,06 + 0,06 sin(1/2 pi x - 1/2 pi)` Hierin is `h` de hoogte en `x` de horizontale afstand vanaf het (linker-)begin van de drempel, beide in meter.
Bereken hoeveel meter de lengte van deze drempel is.
Met de formule kun je berekenen over welke lengte deze drempel meer dan `10` cm hoog is. Bereken deze lengte in cm nauwkeurig.
De helling van de drempel is niet overal even groot. Hoeveel meter van het begin van de drempel ligt het eerste punt waar de drempel maximale helling heeft?
Een verkeersdrempel die hoort bij een maximumsnelheid van `60` km/uur is `12` meter lang en `14` cm hoog. Daarbij hoort een formule van de vorm: `h = a + bsin(c(x - d))` Ook hier is `h` de hoogte en `x` de horizontale afstand vanaf het (linker-)begin van de drempel, beide in meter. Hoe groot zijn `a ` , `b` , `c` en `d` ?
(bron: voorbeeldexamenopgave vwo A)
Golfbewegingen volgens Kondratieff en Barker. In de economie komen vaak golfbewegingen voor: het gaat afwisselend beter en slechter met de economie. Economen proberen deze golfbewegingen te analyseren, onder andere om een volgende economische crisis te kunnen voorspellen. In november 2010 stond hierover een artikel in dagblad Trouw. In figuur 1, gebaseerd op dit artikel, zijn twee verschillende golfbewegingen te zien.
De Russische econoom Kondratieff presenteerde rond 1920 de theorie dat er in de(kapitalistische) wereldeconomie golven of cycli voorkomen met een periode tussen de `50` en `60` jaar: na grote technische vernieuwingen leeft de economie steeds op, om een aantal jaren later weer in een crisis of slechte tijd te belanden. In figuur 1 is onder andere de golfbeweging volgens Kondratieff getekend tot 1920. Als je deze golfbeweging met dezelfde vaste periode ook na 1920 voortzet, wordt de crisis van 2009 hiermee niet goed voorspeld.
Laat met een redenering gebaseerd op figuur 1 zien dat 2009 volgens Kondratieff niet in een periode van economische neergang zit.
De Amerikaanse beursanalist Barker gaat uit van een iets andere golfbeweging. Ook de golfbeweging volgens Barker is in figuur 1 getekend. Vanaf het dieptepunt in 1949 heeft de golfbeweging volgens Barker een periode die constant is. In figuur 1 is te zien dat de golfbewegingen volgens Kondratieff en Barker steeds meer van elkaar gaan verschillen. In bepaalde perioden laten de beide grafieken zelfs een tegengestelde beweging van de economie zien: de grafiek volgens Barker stijgt, terwijl die van Kondratieff daalt of andersom.
Onderzoek met behulp van de figuur 1 in welke perioden tussen 1950 en 2050 de grafieken van Kondratieff en Barker een tegengestelde beweging van de economie laten zien.
De golfbeweging volgens Barker kan vanaf het dieptepunt in 1949 benaderd worden met de formule: `B = sin((2pi)/63 (t - 1965))` met `t` het jaartal. Omdat we hier alleen het stijgen en dalen van de golfbeweging bekijken, doet het er niet toe welke evenwichtsstand en welke amplitude we kiezen. In deze formule is gekozen voor evenwichtsstand `0` en amplitude `1` . Voor de golfbeweging volgens Kondratieff kan een soortgelijke formule opgesteld worden.
Stel een formule voor de golfbeweging volgens Kondratieff op.
In figuur 2 is een derde grafiek getekend: de Slowaakse onderzoeker Smihula ging ook uit van golfbewegingen in de economie, maar volgens hem wordt de periode van deze golven steeds korter. Volgens Smihula begint en eindigt een golf bij een dieptepunt.
In figuur 3 zie je de golf volgens Smihula tussen 1940 en 1985.De periode van deze golf is verdeeld in vier gelijke delen: deze delen worden respectievelijk lente, zomer, herfst en winter genoemd. De volgende golf volgens Smihula loopt van 1985 tot 2015. De periode van deze golf is tweederde van de periode van de vorige golf. Neem aan dat dit zich na 2015 zo voortzet, dus dat elke nieuwe golf een periode heeft die tweederde is van de vorige.
Bereken in welk "seizoen" (lente, zomer, herfst, winter) het jaar 2040 volgens Smihula zal vallen.
Als elke nieuwe golf een periode heeft die tweederde is van de vorige, worden de perioden op den duur erg kort. Het is de vraag of dit realistisch is. Bereken in welk jaar er volgens deze regelmaat voor het eerst een periode begint die korter is dan één jaar.
(bron: voorbeeldexamenopgave vwo A)
Met zonnepanelen kan elektriciteit geproduceerd worden. De opbrengst van zonnepanelen
varieert door het jaar heen: in de zomer is de opbrengst groter dan in de winter.
Bekijk het staafdiagram van de gemiddelde maandopbrengsten van een zonnepanelensysteem
bij Leiden. Om de gemiddelde maandopbrengsten te bepalen, worden de maandopbrengsten
van de laatste
`10`
jaar gebruikt. De opbrengst wordt gemeten in kilowattuur (kWh).
De gemiddelde maandopbrengsten kunnen benaderd worden door een model: de kromme `M` in de figuur. De werkelijke gemiddelde maandopbrengst wijkt relatief het meest af in oktober van de door het model voorspelde waarde.
Licht toe hoe je in de figuur kunt zien dat die relatieve afwijking inderdaad in oktober het grootst is en bereken deze relatieve afwijking.
De kromme van de gemiddelde maandopbrengst `M` in de figuur is een sinusoïde. Stel een formule op voor `M` als functie van de tijd `t` in maanden. Neem hierbij voor januari `t =1` .
Bij een ander zonnepanelensysteem is voor elke dag in het jaar op basis van de gegevens
van
`10`
jaar de gemiddelde dagopbrengst bepaald. De gemiddelde dagopbrengst kan benaderd
worden met de formule:
`D = 6,34 + 4,19 sin(0,0172(t − 74))`
Hierin is
`D`
de gemiddelde dagopbrengst in kWh en
`t`
de tijd in dagen met
`t =1`
op 1 januari.
Bereken op hoeveel dagen per jaar de gemiddelde dagopbrengst volgens deze formule groter is dan `10` kWh.
(bron: pilotexamen vwo wiskunde A in 2016, tweede tijdvak)