Veranderingen > Hellingsgrafiek
123456Hellingsgrafiek

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Het is een rechte lijn. Gaat door de punten `(0,0)` en `(10,40)` ;

het hellingsgetal is: `(40-0)/(10-0)=4` ;

het startgetal is: `0` .

de formule wordt: `v=4 t` .

b

Dat wordt een (halve) parabool:

c

`s=2 t^2` geeft `s(20 )=800` m.

Opgave 1
a

Voer in je GR in Y1=X^2 en gebruik de optie dy/dx.

`x` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
`f'(x)` `text(-)6` `text(-)4` `text(-)2` `0` `2` `4` `6`
b

Vergelijk jouw grafiek met die in de uitleg.

De grafiek voldoet aan `y=2x` .

c

Voor de `x` -waarde die hoort bij `f'(x)=0` heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. Hier is dat voor `x=0` .

Opgave 2
a
`x` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
`f'(x)` `7,5` `0` `text(-)4,5` `text(-)6` `text(-)4,5` `0` `7,5`
b

Voer in Y1=0.5X^3-6X en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0,001).

c

Bij een top van een grafiek hoort een raaklijn met hellingsgetal `0` .

d

`f'(1)=text(-)4,5` en `f(1)=text(-)5,5` dus de raaklijn wordt: `y=text(-)4,5 x-1` .

e

`f'` heeft een minimum van `text(-)6` voor `x=0` . De grafiek van `f` gaat daar van toenemend dalend over naar afnemend dalend.

Opgave 3
a

Wat betekent het voor de grafiek van de functie als de hellingsgrafiek onder de `x` -as ligt?

De functiewaarden zijn negatief.

De grafiek is stijgend.

De grafiek is dalend.

De grafiek heeft een minimum.

b

Soms is een grafiek toenemend stijgend. Hoe zie je dat aan de hellingsgrafiek?

De hellingsgrafiek ligt boven de `x` -as.

De hellingsgrafiek is stijgend.

De hellingsgrafiek ligt boven de `x` -as en is stijgend.

De hellingsgrafiek heeft een maximum.

c

Hoe vind je de extremen van een functie uit de hellingsgrafiek?

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de hellingsgrafiek een maximum of een minimum heeft.

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de helling overgaat van positief in negatief of omgekeerd.

Je bekijkt voor welke waarden van `x` de helling de waarde `0` heeft.

Dat kun je niet uit de hellingsgrafiek aflezen.

Opgave 4
a

Kies uit de volgende antwoorden. De grafiek van `f` heeft:

precies één extreme waarde van `6` voor `x=0` ;

geen extremen want de hellingsgrafiek is dalend;

geen extremen want de grafiek van de functie zelf is ook dalend;

een maximum voor `x=3`

b

Grafiek B.

Opgave 5
a

C

b

Voor `x=0` is de helling van de grafiek van `f` gelijk aan `0` .
Waarom heeft de grafiek van `f` geen extreme waarde voor `x=0` ? (Geef alle goede antwoorden aan.)

De grafiek is altijd stijgend, behalve bij `x=0` .

Het tekenschema van de afgeleide wisselt bij `x=0` niet van teken.

De functie heeft geen horizontale raaklijn voor `x=0` .

De functie heeft wel een horizontale raaklijn voor `x=0` maar gaat niet van stijgend naar dalend.

Opgave 6

Grafiek B.

Opgave 7
`x` `text(-)3` `text(-)2` `text(-)1` `0` `1` `2` `3`
`g'(x)` `text(-)6` `text(-)4` `text(-)2` `0` `2` `4` `6`

Deze tabel past bij een lineaire functie met hellingsgetal `2` en begingetal `0` .

Dus `g'(x)=2x` .

Opgave 8
a

Met de GR of via `text(dy)/text(dx)` of via een hellingsgrafiek:

`a'(5 )=12` m/s en dat is `12*3,6=43,2` km/h.

b

De grafiek van `v(t)` is de hellinggrafiek van `a(t)` .
Zo'n hellinggrafiek kun je met je GR tekenen. Voer in Y1=1.2*X^2 en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0.001) en je krijgt een goede benadering ervan. De hellinggrafiek is een rechte lijn door `(0 , 0 )` en `(5 , 12 )` .

Van die rechte lijn is het hellingsgetal `(12-0)/(5-0)=2,4` en het begingetal `0` .

De bijbehorende formule wordt: `v(t)=a'(t)=2,4t` .

c

`50` km/h is omgerekend: `50/(3,6)~~13,89` m/s.

`v(t)=13,89` invullen: `2,4 t≈13,89` geeft `t≈5,8` seconden.

Na `5,8` seconden beweegt de zeilwagen met een snelheid van `50` km/h.

Opgave 9

De blauwe grafiek (met de langere streepjes).

Opgave 10

Bijvoorbeeld zo. De ligging van de grafiek ten opzichte van de `x` -as kun je niet weten, net zo min als de mate van stijging of daling.

Opgave 11
a

Je ziet de hellingsgrafiek van `f` . De grafiek van `f` is stijgend als de hellingsgrafiek positief is (boven de `x` -as ligt), dus op het interval: `⟨text(-)1 , 1 ⟩` .

b

Voor extreme waarden geldt vaak `f'(x)=0` . Maar dit kunnen zowel minima als maxima zijn. Een maximum is te vinden als `f'(x)` van positief naar negatief gaat. Dit is het geval bij `x=1` .

c

Nee, daarvoor moet je het functievoorschrift van `f` weten.

d

Je grafiek moet in ieder geval door `(0 , 2 )` gaan en een maximum hebben voor `x=1` en een minimum voor `x=text(-)1` .

Opgave 12

Voer in: Y1=0.5X^2+3X
Gebruik `(text(d)y)/(text(d)x)` . Maak een tabel van de hellingsfunctie:

`x` `0` `1` `2 ` `3 ` `4`
`f'(x)` `3` `4 ` `5` `6` `7`

Lineaire functie met hellingsgetal `1` en begingetal `3` .

Functievoorschrift: `f'(x)=x+3` .

Opgave 13
a

Vul elke functie in de GR in en bepaal `(text(d)y)/(text(d)x)` als `x = 1` :

  • `f'(1)=text(-)2`

  • `g'(1)=0,5`

  • `h'(1)=text(-)4`

  • `k'(1)= 0`

b

c

Bij de extremen van de gekozen functie zit een nulpunt bij de hellingsfunctie van die grafiek, want de helling in een top is `0` . Bepaal de nulpunten van de hellingsgrafiek:

`f(x)` : `x = 0` , max. `f(0) = text(-)(0^2) + 4 = 4` ;

`g(x)` : `x = 0` , max. `g(0) = sqrt(0^2+3) = sqrt(3)` ;

`h(x)` : geen nulpunten, geen extremen;

`k(x)` : `x = 1` , max. `k(1) = text(-)(1^4) + 4*1 = 3` .

Opgave 14
a

Voer in: Y1=2X^3-6X^2-8X
Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 \le x \le 5` en `text(-)30\le y \le 10` .
Bereken met de GR het snijpunt van de grafiek met de `x` -as.

b

Met de GR: gebruik `(text(d)y)/(text(d)x)` .

Het hellingsgetal bij dit punt is `40` .

c

Een raaklijn is een rechte lijn. Je zoekt de richtingscoëfficient `a` en het begingetal `b` .

De richtingscoëfficient is gelijk aan het hellingsgetal: `40` .

De lijn gaat in ieder geval door het punt `(4, 0)` .

De vergelijking van de raaklijn aan `f(x)` door `(4, 0)` is dan: `y=40x-160` .

d

Voer in: Y1=2X^3-6X^2-8X en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(x))/(0.001).
Venster bijvoorbeeld: `text(-)2 le x le 5` en `text(-)30 le y le 10` .

e

Nulpunten van de hellingsgrafiek bepalen en de gevonden `x` -waarden invullen in `f` .
Je vindt: min. `f(2,53 )≈text(-)26,26` en max. `f(text(-)0,53 )≈2,26` .

Opgave 15Elektrische auto
Elektrische auto
a

De afgelegde weg wordt in meters uitgedrukt. De hellingsgrafiek geeft de verandering per seconde. De hellingsgrafiek wordt dus uitgedrukt in m/s.

Voer in: Y1=1.6X^2 en Y2=(Y1(X+0.001)-Y1(X))/(0.001) en je ziet (een benadering van) de hellingsgrafiek.

b

De richtingscoëfficient van de lijn blijkt `3,2` en het begingetal is `0` , dus `v(t)=3,2 t` .

c

`v` wordt uitgedrukt in m/s. Reken eerst de `80` km/h om: `80/(3,6)~~22,22` m/s.

Invullen in de formule levert:

`22,22=3,2t` en dus `t=(22,22)/(3,2)~~6,94` .

Na ongeveer `7` s is de snelheid meer dan `80` km/h.

Opgave 16Economische modellen
Economische modellen
  • Grafiek 4 hoort bij model A want de helling is constant hetzelfde.

  • Grafiek 1 hoort bij model B want de helling neemt voortdurend af.

  • Grafiek 3 hoort bij model C want de helling neemt eerst toe en dan af maar blijft positief.

  • Grafiek 2 hoort bij model D want de helling neemt eerst toe en dan af en wordt negatief.

bron: examen 2002 - II

Opgave 17

Je vindt de grafiek van: `f'(x)=2 x-4` .

Opgave 18

De grafiek van `g` moet in ieder geval door het punt `(2 , 4 )` gaan en drie extremen hebben: maxima voor `x=text(-)3` en `x=3` en een minimum voor `x=0` .

Opgave 19
a

Voor `x=0` .

b

Op het interval `(:0 , 3 :)` .

c

De grafiek van `f` moet in ieder geval door `(0 ,1)` gaan en twee extremen hebben: een maximum voor `x=0` (zie a) en een minimum voor `x=3` .

verder | terug