Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`1,2 * 5^2 = 30` m.

De snelheid bereken je met een tabel differentiequotiënten op `[5, 5+h]` met `h rarr 0` .
Je vindt een snelheid van `12` m/s.

b

Bereken de snelheden voor `t=0, 1, 2, 3, ...`

`t` `0` `1` `2` `3` `4`
`s'(t)` `0` `2,4` `4,8` `7,2` `9,6`

Bij deze tabel past de formule `v(t) = 2,4t` .

Je kunt ook een differentiequotiënt opstellen om `[t, t+h]` en dan kijken wat er gebeurt als `h rarr 0` :

`v(t) = (Delta s)/(Delta t) = (1,2(t+h)^2 - 1,2t^2)/(t+h - t) = (2,4th + 1,2h^2)/h = 2,4t + 1,2h`

Als `h rarr 0` dan vind je `v(t) = 2,4t` .

Opgave 1
a

De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is `6` m/s.

b

`(Δs)/(Δt) = (1,2 * (5 +h) ^2-1,2 *5^2) / ((5 +h)-5) = (12 h+1,2 h^2) /h = 12 +1,2 h`

c

`(Δs) / (Δt)= 12 +1,2 h`
`h` nadert naar `0` en dit geeft `s'(5)=12` m/s.

Opgave 2
a

`(Δs)/(Δt) = (1,2 * (t+h)^2 - 1,2 *t^2)/(t+h-t) = (2,4th + 1,2 h^2)/(h) = 2,4t + 1,2 h`

b

`v(t)=s'(t)=2,4 t+1,2*0=2,4t`

c

De functie `v(t)` is de afgeleide van `s(t)` .
Welke betekenis heeft `s'(5)` in dit verband?

`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste vijf seconden.

`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste vijf seconden.

`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` .

d

`s'(5)=2,4 *5 =12` m/s

e

`50`  km/h = `13 8/9` m/s, dus je moet oplossen `2,4 t=13 8/9` .
Dit geeft `t ≈ 5,79` seconden.

Opgave 3

Het differentiequotiënt van `f` op het interval `[text(-)2; text(-)2+h]` is

`(Delta y) / (Delta x) = ((text(-)2+h) ^2-(text(-)2^2))/h=(4-4h+h^2-4)/h= (text(-)4h+h^2)/h=text(-)4+h` (mits `h ne 0` ) en `h` nadert `0` .

Het differentiaalquotiënt voor `x=text(-)2` is `text(-)4` .

Voor de vergelijking van de raaklijn geldt `y=text(-)4x+b` .
Omdat `f(text(-)2)=4` , gaat de raaklijn door het punt `(text(-)2, 4)` .
Dit punt vul je in de vergelijking in: `4 = text(-)4*text(-)2+b` geeft `b = text(-)4` .

De vergelijking van de raaklijn is: `y=text(-)4x-4` .

Opgave 4
a

`(Δy) / (Δx) = (4-0,25*(1+h) ^2- 4 +0,25*1^2) /h=(text(-)0,5h- 0,25h^2)/h= text(-)0,5 - 0,25h` (mits `h ne 0` )
Het differentiequotiënt is `text(-)0,5 - 0,25h` .

b

`y'(1) = text(-)0,5`

c

`y=text(-)0,5x+b` .

`f(1)=3,75` , dus `b=3,75+0,5=4,25` .

De vergelijking van de raaklijn is `y=text(-)0,5x+4,25` .

Opgave 5
a

`(Δy) / (Δx) = (4 -0,25 (x+h) ^2-(4 -0,25 x^2)) / (x+h-x) = (text(-)0,5 xh-0,25 h^2) /h=text(-)0,5 x-0,25 h`

Als `h` nadert naar `0` , is de afgeleide `f'(x)=text(-)0,5x` .

b

Dan moet `f'(4)` gelijk zijn aan de helling van de raaklijn, `text(-)2` .
`f'(4)=text(-)0,5*4=text(-)2` , dus het klopt.

Opgave 6
a

`(Δy) / (Δx) = ((1+h)^2+4(1+h)-5) /h=(6h+h^2)/h=6+h` (mits `h ne 0` ).
Als `h` naar `0` nadert, is de helling van de grafiek van `f` voor `x=1` gelijk aan `6` .
Met de grafische rekenmachine vind je dat `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=1) =6` .
De helling is `6` .

b

`(Δy) / (Δx) = ((x+h)^2+4(x+h)-(x^2+4x)) /h=(2xh+4h+h^2)/h=2x+4+h` (mits `h ne 0` ).

Als `h` naar `0` nadert, is de afgeleide functie `f'(x)=2x+4` .

c

`f'(1 )=6`

d

`f'(x) =0` voor `x = text(-)2`

In dat punt heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. In dit geval is er sprake van een minimum voor `f` .

e

`f(x) = x^2+4x = x(x+4) = 0` voor `x = 0 vv x = text(-)4` .

`f'(0 )=4` en `f'(text(-)4 )=text(-)4` .

f

`f'(x) = 2x + 4 = 2` geeft `x=text(-)1` .

De coördinaten van dat punt zijn `(text(-)1, text(-)3)` .

Opgave 7

`(Δy) / (Δx) = (c-c) /h=0` voor elke `h≠0` .

Opgave 8
a

`(ΔTO) / (Δq) = (900 (q+h)-60 (q+h)^2-(900 q-60 q^2))/(h) = (900h-120qh-60h^2)/h = 900-120q-60h` .

Laat `h` naar `0` gaan en `TO'(q)=900 -120 q` .

b

`TO'(q )` is de snelheid waarmee de opbrengst toeneemt (afneemt) bij toename van `q` .

c

`TO'(4)=420`

Deze waarde geeft aan hoe snel de opbrengst toeneemt als de productieomvang wordt opgeschroefd bij een productie van `400` .

Opgave 9
a

`f'(x)=text(-)0,2x+6`

b

De nulpunten vind je door `text(-)0,1 x^2 +6x = 0` op te lossen.
Dit geeft `x=0 vv x=60` .

Nu is `f'(60) = text(-)6` en `f(60)=0` .

De raaklijn is dus `y=text(-)6x+360` .

Opgave 10Vrije val
Vrije val
a

`(Δs) / (Δt)=(s(10 )-s(0 )) /10 = (4,9*100 - 4,9*0)/10 = 49`

De gemiddelde snelheid is `49` m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = (4,9 (10 +h) ^2-4,9 *10^2) /h=(98h+4,9h^2)/h=98+4,9h` (mits `h ne 0` ).

Als `h` naar `0` nadert, krijg je de snelheid na `10` seconden.
Deze snelheid is `98` m/s en dat is groter dan de gemiddelde snelheid van `49` m/s.

c

`(Δs) / (Δt) = (4,9(t+h) ^2-4,9t^2) /(t+h-h)= (4,9(t^2+2th+h^2)-4,9t^2) /h= (9,8th+4,9h^2) /h =9,8t+4,9h` .

Als `h` naar `0` nadert, krijg je `s'(t)=v(t)=9,8t` .

d

`120` km/h = `33 1/3` m/s en `s'(t)=9,8 t=33 1/3` geeft `t≈3,4` .

Na ongeveer `3,4` seconden beweegt het lichaam met een snelheid van `120` km/h.

Opgave 11Afbraak van giftige stof in water
Afbraak van giftige stof in water
a

`(ΔH) / (Δt) = (H(4)-H(0 )) /10=text(-)2,952`

Er is gemiddeld `2,952` mg/L per dag verdwenen.

b

GR: `H'(0 )≈text(-)4,46` en `H'(4 )≈text(-)1,83` mg/L per dag.
De afbreeksnelheid wordt steeds kleiner omdat de grafiek steeds minder sterk gaat dalen.

c

`(ΔH) / (Δt) = (20 *0,8^ ((t+h) )-(20 *0,8^t) )/h` kun je niet zo herleiden dat de deling door `h` is uit te voeren.

Opgave 12
a

`(Δy) / (Δx) =3`

b

`(Δy) / (Δx) = (1,5 (x+h) ^2+4 -(1,5 x^2+4 )) /((x+h)-x)` en dit geeft `f'(x)=3 x` .

c

`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=2) = 6`

d

`y=6 x-2`

Opgave 13
a

`K'(q)=0,2 q+0,7` .

b

Als `q≥0` dan is `K'(q)≥0` .

verder | terug