Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`t≈11,5` .

b

`v=3 t` . Dit kun je vinden door de hellingsfunctie te tekenen met je GR met behulp van `y_2 = (y_1(x+0,001)-y_1(x))/(0,001)` . Dat wordt een rechte lijn, waar je dan wel een formule bij kunt maken.

Opgave 1
a

De gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden is 6 m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = 12 +1,2 h`

c

`s'(5 )=12` m/s

Opgave 2
a

9 m/s

b

`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=6)=18`

De snelheid op `t=6` is `18` m/s.

Opgave 3
a

`(Δs) / (Δt) =3,0 t+1,5 h`

b

`v(t)=3,0 t`

c

De functie heet de afgeleide van `s(t)` . Welke betekenis heeft `s'(5)` in dit verband?

`v(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste vijf seconden.

`v(5)` is de afgelegde weg in de eerste vijf seconden.

`v(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` .

d

`v(5)=15` m/s

e

Na ongeveer 4,63 seconden rijdt de zeilwagen met een snelheid van 50 km/h.

Opgave 4
a

`f'(x)=8x`

b

`g'(x)=x`

Opgave 5

`y=text(-)4x-4`

Opgave 6
a

Het differentiequotiënt is `text(-)0,5 - 0,25h` .

b

`text(-)0 ,5`

c

De vergelijking van de raaklijn is: `y=text(-)0,5x+4,25`

Opgave 7
a

`f'(x)=text(-)2x`

b

`y=text(-)8x+26`

Opgave 8
a

`(Δy) / (Δx) = text(-)0,5 x-0,25 h`

Als `h` nadert naar `0` , is de afgeleide `f'(x)=text(-)0,5x` .

b

Dan moet `f'(4)` gelijk zijn aan de helling van de raaklijn, `text(-)2` .
`f'(4)=text(-)0,5*4=text(-)2` , dus het klopt.

Opgave 9
a

`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=1) =6`

De helling is `6` .

b

Als `h` naar `0` nadert, is de afgeleide functie `f'(x)=2x+4` .

c

`f'(1 )=6`

d

`f'(x) =0` voor `x = text(-)2`

In dat punt heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. In dit geval is er sprake van een minimum voor `f` .

e

`f(x) = 0` voor `x = 0` en `x = text(-)4`

`f'(0 )=4` en `f'(text(-)4 )=text(-)4`

f

De coördinaten van dat punt zijn `(text(-)1, text(-)3)` .

Opgave 10

`(Δy) / (Δx) = (c-c) /h=0` voor elke `h≠0`

Opgave 11
a

De gemiddelde snelheid is 49 m/s.

b

`(Δs) / (Δt) = (4,9 (10 +h) ^2-4,9 *10^2) /h=(98h+4,9h^2)/h=98+4,9h` (mits `h ne 0` )

Als `h` naar `0` nadert, krijg je de snelheid na 10 seconden. Deze snelheid is 98 m/s en dat is groter dan de gemiddelde snelheid van 49 m/s.

c

Als `h` naar `0` nadert, krijg je `s'(t)=v(t)=9,8t` .

d

Na ongeveer 3,4 seconden beweegt het lichaam met een snelheid van 120 km/h.

Opgave 12
a

`(Δy) / (Δx) =3`

b

`(Δy) / (Δx) = (1,5 (x+h) ^2+4 -(1,5 x^2+4 )) /((x+h)-x)` en di geeft `f'(x)=3 x` .

c

`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=2)` = `6`

d

`y=6 x-2`

Opgave 13
a

`TO'(q)=900 -120 q`

b

`TO'(q )` is de snelheid waarmee de opbrengst toeneemt (afneemt) bij toename van `q` .

c

`TO'(4)=420`

Deze waarde geeft aan hoe snel de opbrengst toeneemt als de productieomvang wordt opgeschroefd bij een productie van 400.

Opgave 14
a
`(ΔK) / (Δq)` `=` `(0,1 (q+h) ^2+0,7 (q+h)+12 -(0,1 q^2+0,7 q+12 )) /((q+h)-q)`
`(ΔK) / (Δq)` `=` `(0,1 (q^2+2qh+h^2) +0,7 (q+h)+12 -(0,1 q^2+0,7 q+12 )) /((q+h)-q)`
`(ΔK) / (Δq)` `=` `(0,1 q^2+0,2qh+0,1h^2 +0,7 q+0,7h+12 -(0,1 q^2+0,7 q+12 )) /((q+h)-q)`
`(ΔK) / (Δq)` `=` `(0,2qh+0,1h^2 +0,7h ) /(h)`
`(ΔK) / (Δq)` `=` `0,2q+0,1h +0,7`

Als `h` nadert naar `0` geeft dit `K'(q)=0,2 q+0,7` .

b

Als `q≥0` dan is `K'(q)≥0` .

Opgave 15
a

Er is gemiddeld `2,952` mg/L per dag verdwenen.

b

`H'(0 )≈text(-)4,46` en `H'(4 )≈text(-)1,83` mg/L per dag
De afbreeksnelheid wordt steeds kleiner omdat de grafiek steeds minder sterk gaat dalen.

c

`(ΔH) / (Δt) = (20 *0,8^ ((t+h) )-(20 *0,8^t) )/h` kun je niet zo herleiden dat de deling door `h` is uit te voeren. Daarom kun je de limiet voor `h→0` nu nog niet berekenen.

Opgave 16
a

`[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=1) =text(-)2`

De helling is `text(-)2` .

b

Als `h` naar `0` nadert, is de afgeleide functie `f'(x)=2x-4` .

c

`f'(1 )=text(-)2`

d

`f'(x) =0` voor `x = 2`

In dat punt heeft de grafiek van `f` een horizontale raaklijn. In dit geval is er sprake van een minimum voor `f` .

e

`f(x) = 0` voor `x = 0` en `x = 4`

`f'(0)=text(-)4` en `f'(4)=4`

f

De coördinaten van dat punt zijn `(3, text(-)3)` .

Opgave 17
a

`k'(q)=q+0,7`

b

Als `q≥0` dan is `K'(q)≥0` .

verder | terug