Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Verwerken

Opgave 9

Gegeven is de functie `f(x)=x^2+4 x` .

a

Bereken het hellingsgetal van de grafiek van `f` voor `x=1` met behulp van het differentiequotiënt op het interval `[1, 1 +h]` . Controleer je antwoord met de grafische rekenmachine.

b

Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van `f` .

c

Bereken met behulp van `f'(x)` nogmaals de hellingswaarde voor `x=1` . Ga na dat je dezelfde uitkomst krijgt als bij a.

d

Voor welke waarde van `x` heeft de grafiek van `f'` een nulpunt? Welke betekenis heeft dit punt voor de grafiek van `f` ?

e

Wat zijn de nulpunten van `f(x)` ?
Bereken de helling van de grafiek van `f` in haar nulpunten.

f

De grafiek van `f` heeft precies één punt waarin de helling `2` is. Bereken de coördinaten van dit punt.

Opgave 10

Een constante functie heeft als voorschrift `f(x)=c` .

Toon aan dat de afgeleide van een constante functie altijd de waarde 0 heeft.

Opgave 11

Voor een lichaam in vrije val (bijvoorbeeld een parachutespringer voordat hij zijn valscherm opent) geldt bij benadering `s(t)=4,9 t^2` , waarin `s` de afgelegde afstand in meter en `t` de tijd in seconden is.

a

Bereken de gemiddelde snelheid gedurende de eerste tien seconden vrije val.

b

De snelheid na tien seconden vrije val is groter dan de gemiddelde snelheid over de eerste tien seconden. Laat dit door middel van een berekening zien.

c

Stel een formule op voor de snelheid `v` als functie van `t` door het interval `[t; t+h]` te gebruiken.

d

Na hoeveel seconden vrije val beweegt het lichaam met een snelheid van 120 km/h?

Opgave 12

Bekijk de grafiek van de functie `f(x)=1,5 x^2+4` op het interval `[text(-)2, 4]` .

a

Bereken de gemiddelde verandering van `f(x)` op dit interval.

b

Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide `f'(x)` .

c

Bereken: `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=2)`

d

Stel een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x=2` .

Opgave 13

Een autofabrikant maakt als enige een kleine stadsauto. Voor de totale opbrengst van de verkoop van die auto’s geldt: `TO=900 q-60 q^2` waarin `TO` wordt uitgedrukt in duizenden euro en `q` de geplande productieomvang in honderdtallen per jaar voorstelt. Er wordt van uitgegaan dat alle geproduceerde auto’s ook worden verkocht.

a

Stel een functievoorschrift op voor de afgeleide van deze opbrengstfunctie.

b

Welke betekenis heeft `TO'(q )` voor de opbrengstfunctie?

c

Bereken `TO'(4)` .

Opgave 14

De kosten `K` (euro) voor de productie van `q` liter van een bepaalde chemische stof bedragen `K(q)=0,1 q^2+0,7 q+12` .

a

Met behulp van het differentiequotiënt over het interval `[q, q+h]` kun je een formule opstellen voor `K'(q)` . Stel die formule op. Laat duidelijk zien hoe je te werk gaat.

b

Hoe kun je aan de gevonden afgeleide zien dat de kosten blijven stijgen bij toenemende `q` ?

Opgave 15

De hoeveelheid van een bepaalde giftige stof in het water van een meertje wordt minder: de stof breekt op natuurlijke wijze af. Voor die hoeveelheid geldt `H(t)=20 *0,8^t` waarin `H` de hoeveelheid in milligram per liter is en `t` de tijd in dagen, die is verstreken sinds de stof in het water terechtkwam.

a

Hoeveel gram per liter is er gemiddeld in de eerste vier dagen verdwenen?

b

De afbreeksnelheid van deze giftige stof is op `t=0` hoger dan op `t=4` . Bepaal beide afbreeksnelheden met de grafische rekenmachine en leg uit waarom ze verschillen.

c

Je zou de afbreeksnelheid ook moeten kunnen berekenen met behulp van een differentiequotiënt. Daarbij doet zich echter een probleem voor. Welk probleem?

verder | terug