Afgeleide functies > Het begrip afgeleideVoorbeeld 1
Gegeven is de functie `f(x) = x^2` . Bereken zonder de grafische rekenmachine het differentiaalquotiënt van deze functie voor `x = 3` . Stel met behulp daarvan een vergelijking op van de raaklijn aan de grafiek van `f` voor `x = 3` .
Berekening van het differentiaalquotiënt.
Het differentiequotiënt van
`f`
op het interval
`[3, 3+h]`
is:
`(Δy)/(Δx) = ((3+h)^2 - 3^2)/h = (9 + 6h + h^2 - 9)/h = `
`= (6h + h^2)/h = 6 + h`
(mits
`h ne 0`
)
Als
`h`
naar
`0`
gaat, dan gaat
`6 + h`
naar
`6`
.
Het differentiaalquotiënt van
`f`
voor
`x = 3`
is dus
`6`
.
Het getal
`6`
is het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek van
`f`
voor
`x=3`
. Deze raaklijn is een rechte lijn en heeft daarom een vergelijking van de vorm:
`y = 6x + b`
.
`b`
bepaal je door de coördinaten van een punt van de raaklijn in de vergelijking in
te vullen: het raakpunt.
Omdat
`f(3) = 3^2 = 9`
, gaat deze raaklijn door
`(3, 9)`
.
Vul dit in de vergelijking in: `9 = 6*3 + b` geeft `b = text(-)9` .
De vergelijking van de raaklijn is `y = 6x - 9` .
Bekijk in
Stel zonder hulp van de grafische rekenmachine de formule op van de raaklijn aan de
grafiek van
`f`
voor
`x = text(-)2`
.
Bekijk de grafiek van de functie `f(x) = 4 - 0,25x^2` met domein `[text(-)5, 5]` .
Bereken het differentiequotiënt van `f` op het interval `[1, 1+h]` .
Welke hellingswaarde heeft de grafiek voor `x = 1` ?
Deze hellingswaarde is tevens de richtingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek voor `x = 1` . Stel een vergelijking van die raaklijn op.