Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Uitleg

Bekijk de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd.
Er geldt `s(t)=1,2 t^2` .
Daarbij is `s` de afgelegde afstand in meter en `t` de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
`(Delta s) / (Delta t) = (1,2 *4^2-1,2 *0^2) / (4 -0) =(19,2)/(4)=4,8` m/s

Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op `t=4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden. Benader de snelheid op `t=4` . Gebruik hierbij het differentiequotiënt.

Neem het interval `[4, 4 +h]` .
Het differentiequotiënt op dat interval is (mits `h≠0` ):

`(Delta s) / (Delta t)` `=` `(1,2 * (4 +h) ^2-1,2 *4^2) / (4 +h-4)`
`` `=` `(9,6 h+1,2 h^2) /h=9,6 +1,2 h`

Als `h` de waarde `0` nadert, dan nadert `9,6 +1,2 h` de grenswaarde `9,6` m/s.
Deze grenswaarde is de snelheid op `t=4` .
Je noteert deze grenswaarde als `s'(4 )` of als `[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=4)`
Dit is:

  • het differentiaalquotiënt voor `t=4`

  • het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor `t=4`

  • de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op `t=4`

  • de afgeleide waarde op `t=4`

Door de dy/dx-functie van de grafische rekenmachine te gebruiken kun je de helling ook bepalen.
Hoe dit moet, zie je in het practicum Functies en de GR.

Opgave 1

Voor een versnellende zeilwagen geldt `s(t)=1,2t^2` .
Hierin is `t` de tijd in seconden en `s` de afgelegde afstand in meter.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken het differentiequotiënt op het interval `[5, 5 +h]` en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor `h≠0` .

c

Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op `t=5` ?

Opgave 2

Voor de afgelegde afstand `s` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `s=1,2 t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.

a

Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van `t` . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t,t+h]` op.

b

Als `h` de waarde `0` nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t` . Geef een formule voor de snelheid als functie van `t` .

c

De functie `v(t)` is de afgeleide van `s(t)` .
Welke betekenis heeft `s'(5)` in dit verband?

`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste vijf seconden.

`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste vijf seconden.

`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` .

d

Hoe groot is `s'(5)` ?

e

Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen `50` km/h?

verder | terug