Afgeleide functies > Het begrip afgeleideUitleg
Bekijk de grafiek van de afstand die een zeilwagen heeft afgelegd.
Er geldt
`s(t) = 1,2t^2`
.
Daarbij is
`s`
de afgelegde afstand in meter en
`t`
de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
`(Delta s)/(Delta t) = (1,2*4^2 - 1,2*0^2)/(4 - 0) = (19,2)/(4) = 4,8`
m/s.
Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op `t = 4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden. Benader de snelheid op `t = 4` . Gebruik hierbij het differentiequotiënt.
Neem het interval
`[4, 4+h]`
.
Het differentiequotiënt op dat interval is (mits
`h ≠ 0`
):
| `(Delta s)/(Delta t)` | `=` | `(1,2 * (4+h)^2 - 1,2 * 4^2)/(4 + h - 4)` | |
| `` | `=` | `(9,6h + 1,2h^2)/h = 9,6 + 1,2h` |
Als
`h`
de waarde
`0`
nadert, dan nadert
`9,6 + 1,2h`
de grenswaarde
`9,6`
m/s.
Deze grenswaarde is de snelheid op
`t = 4`
.
Je noteert deze grenswaarde als
`s'(4)`
of als
`[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=4)`
.
Dit is:
-
het differentiaalquotiënt voor `t = 4` ;
-
het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor `t = 4` ;
-
de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op `t = 4` ;
-
de afgeleide waarde op `t = 4` .
Door de dy/dx-functie van de grafische rekenmachine te gebruiken kun je de helling
ook bepalen.
Hoe dit moet, zie je in het
Voor een versnellende zeilwagen geldt
`s(t) = 1,2t^2`
.
Hierin is
`t`
de tijd in seconden en
`s`
de afgelegde afstand in meter.
Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.
Bereken het differentiequotiënt op het interval `[5, 5+h]` en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor `h ≠ 0` .
Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op `t = 5` ?
Voor de afgelegde afstand `s` van een versnellende zeilwagen in meter geldt: `s = 1,2t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.
Je kunt zelf een formule afleiden voor de snelheid als functie van `t` . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t,t+h]` op.
Als `h` de waarde `0` nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t` . Geef een formule voor de snelheid als functie van `t` .
De functie
`v(t)`
is de afgeleide van
`s(t)`
.
Welke betekenis heeft
`s'(5)`
in dit verband?
`s'(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste vijf seconden.
`s'(5)` is de afgelegde weg in de eerste vijf seconden.
`s'(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` .
Hoe groot is `s'(5)` ?
Op welk tijdstip rijdt de zeilwagen `50` km/h?