Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Uitleg

Bekijk de applet.

Bekijk de grafiek van de afstand die een wagen heeft afgelegd (rood). Er geldt: `s=1,2 t^2`

Daarbij is `s` de afgelegde afstand in meter en `t` de tijd in seconden.
De wagen gaat steeds sneller rijden.
De gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden bereken je met het differentiequotiënt:
`(Δs) / (Δt) = (1,2 *4^2-1,2 *0^2) / (4 -0) =(19,2)/4=4,8` m/s
Omdat de wagen steeds sneller gaat, zal de snelheid op `t=4` hoger zijn dan de gemiddelde snelheid over de eerste vier seconden.
Benader de snelheid op `t=4` met behulp van kleiner wordende intervallen. Gebruik hierbij het differentiequotiënt.
Op het interval `[4; 4,1]` wordt het: `(Δs) / (Δt) = (1,2 *4,1^2-1,2 *4^2) / (0,1) =(0,972)/(0,1)=9,72` m/s
Op het interval `[4; 4,01]` : `9,612` m/s
Op het interval `[4; 4,001]` : `9,6012` m/s
Hoe kleiner het interval, hoe dichter je bij de waarde `9,6` m/s van de snelheid op `t=4` komt.
Dit is ook de helling van de grafiek bij `t=4` .

Verander in de applet `h` en bekijk wat er met de helling gebeurt als je het interval steeds kleiner maakt. Als `h` naar `0` nadert, krijg je de raaklijn in `t=4` . In de applet kun je `h` de waarde `0` geven. Dat kan in werkelijkheid niet, omdat je niet mag delen door `0` .

Bereken de snelheid op het interval `[4; 4 +h]` . Dan krijg je:

  • Het differentiequotiënt op dat interval wordt:
    `(Δs) / (Δt) = (1,2 * (4 +h) ^2-1,2 *4^2) / (4 +h-4) = (9,6 h+1,2 h^2)/h=9,6 +1,2 h`

  • Dat is de gemiddelde snelheid in m/s op het interval `[4; 4+h]` .

  • Laat nu `h` naar `0` gaan, dan gaat `1,2h` ook naar `0` .

  • `9,6 +1,2 h` nadert dan de waarde `9,6` m/s.

De snelheid op `t=4` is: `9,6` m/s

Je kunt dit noteren als: `s'(4)=9,6` en `[(text(d)s)/(text(d)t)]_(t=4)=9,6`

Dit is:

  • het differentiaalquotiënt voor `t=4`

  • het hellingsgetal van de raaklijn aan de grafiek voor `t=4`

  • de verandering van de afstand per tijdseenheid in meter per seconde op `t=4`

  • de afgeleide waarde op `t=4`

In dit geval is `s'(4)` de snelheid van de wagen op `t=4` , omdat `s` de afgelegde afstand weergeeft.

Deze snelheid is ook de helling van de grafiek op `t=4` . Met de `(text(d)y)/(text(d)x)` functie van de grafische rekenmachine kun je de helling ook bepalen, zie het practicum Functies en de GR.

Opgave 1

Voor een wagen geldt dat `s(t)=1,2t^2` . Hierin is `t` de tijd in seconden en `s` de afgelegde afstand in meter.

a

Bereken de gemiddelde snelheid over de eerste vijf seconden.

b

Bereken de snelheid op `t=5` . Bereken eerst het differentiequotiënt op het interval `[5, 5 +h]` en vereenvoudig de gevonden uitdrukking voor `h≠0` .

c

Hoe groot is het differentiaalquotiënt en dus de snelheid op `t=5` ?

Opgave 2

Voor een wagen geldt dat `s(t)=1,5t^2` . Hierin is `t` de tijd in seconden en `s` de afgelegde afstand in meter.

a

Bereken handmatig de snelheid op `t=3` .

b

Bereken met behulp van de grafische rekenmachine `[(text(d)y)/(text(d)x)]_(x=6)`
Wat betekent deze waarde?

verder | terug