Afgeleide functies > Het begrip afgeleide
12345Het begrip afgeleide

Uitleg

Het is omslachtig om voor ieder punt op een grafiek met behulp van steeds kleiner wordende intervallen de helling in dat punt te bepalen. De berekening wil je kunnen toepassen op de hele functie.

Bij de functie `s(t)=1,2t^2` kun je een hellingsfunctie `s'(t)` opstellen, waarmee je voor elke `t` -waarde de snelheid kunt uitrekenen. Dat kan zo:

  • Kies als interval `[t; t+h]` .

  • Het differentiequotiënt wordt:
    `(Δs) / (Δt) = (1,2 * (t+h) ^2-1,2 *t^2) / (t+h-t) = (2,4 th+1,2 h^2) /h=2,4 t+1,2 h`

  • Laat `h` naar `0` gaan, dan wordt `1,2h` verwaarloosbaar klein.

  • Je houdt `2,4t` over, `v(t)=2,4 t` .

`s'(t)` wordt ook wel genoteerd als `(text(d)s)/(text(d)t)` of `(text(d)s(t))/(text(d)t)` en wordt genoemd:

  • de afgeleide van `s(t)`

  • de afgeleide functie van `s(t)`

  • de hellingsfunctie van `s(t)`

Omdat `s(t)` de afgelegde afstand is, is de afgeleide in dit geval ook de snelheidsfunctie. Meestal noem je `s'(t)` dan `v(t)` . Deze letters zijn gekozen naar de Engelse woorden "space" (ruimte) en "velocity" (snelheid).

Opgave 3

Voor de afgelegde afstand `s` van een versnellende, dus steeds sneller rijdende zeilwagen in meter geldt: `s=1,5 t^2` waarin `t` de tijd in seconden is.

a

Leid een formule af voor de snelheid als functie van `t` . Stel eerst het differentiequotiënt op het interval `[t, t+h]` op.

b

Als `h` de waarde `0` nadert, krijg je de snelheid voor een willekeurige waarde van `t` . Geef een formule voor de snelheid als functie van `t` .

c

De functie heet de afgeleide van `s(t)` . Welke betekenis heeft `s'(5)` in dit verband?

`v(5)` is de gemiddelde snelheid in de eerste vijf seconden.

`v(5)` is de afgelegde weg in de eerste vijf seconden.

`v(5)` is de snelheid op tijdstip `t=5` .

d

Hoe groot is `v(5)` ?

e

Met behulp van de afgeleide kun je vragen beantwoorden als: op welk tijdstip rijdt de zeilwagen 50 km/h?
Bereken het antwoord op die vraag in stappen:

  • Bereken hoeveel meter per seconde de snelheid bedraagt.

  • Stel de vergelijking op die je nu moet oplossen.

  • Bereken de oplossing. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Opgave 4

Stel formules op van de afgeleide van de volgende functies.

a

`f(x)=4x^2`

b

`g(x)=0,5x^2-5`

verder | terug