Afgeleide functies > Differentiëren
12345Differentiëren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De afgeleide is een rechte lijn door `(0, 0)` en bijvoorbeeld `(1, 2)` .

Controle: `(Delta y)/(Delta x) = ((x+h)^2 - x^2)/h = 2x + h` en dus is `f'(x) = 2x` .

b

Gewoon even samen experimenteren...

Opgave 1
a

`f'(x) = 12*5x^4 = 60x^4`

b

`g'(x) = 12*5x^4 + 0 = 60x^4`

c

`h'(x) = 12*5x^4 + 20*3x^2 + 0 = 60x^4 + 60x^2`

d

`k'(x) = 12*5x^4 + 20*3x^2 + 5*2x^1 - 10*1x^0 + 0 = 60x^4 + 60x^2 + 10x - 10`

Opgave 2
a

`(Δy)/(Δx) = (a(x+h)+b - (ax+b))/h = (ah)/h = a`

b

`f(x) = ax^1 + bx^0` geeft `f'(x) = 1*ax^0 + 0*bx^(text(-)1) = a` .

Opgave 3
a

`f'(x) = 24x^2 - 50`

b

`f'(x) = 3 - 18x - 48x^3`

c

`f'(x) = 2x^5 - 10x`

d

`f'(x) = text(-)25 - 4x^3`

Opgave 4
a

De nulpunten zijn `x = text(-)2` , `x = 2` en `x = 6` .

b

Haakjes wegwerken geeft: `y(x) = x^3 - 6x^2 - 4x + 24` .

`y'(x) = 3x^2 - 12x - 4`

c

`y'(2) = text(-)16` en `y(2) = 0` geeft `y = text(-)16x + 32` .
Plot vervolgens de functie en de raaklijn.
Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 5` en `text(-)50 le y le 30` .

Opgave 5
a

`K'(q) = 0,3q^2 - 2q + 4`

b

`K'(0) = 4`

c

`K'(q) = 4` geeft `0,3 q^2 - 2q + 4 = 4` en hieruit volgt `q = 0 vv q = 20/3` .

Opgave 6
a

`f'(x) = 1,5x^2 - 9x + 10`

b

`f'(0) = 1,5*0^2 - 9*0 + 10 = 10`

Voer in: `y_1 = 0,5x^3-4,5x^2+10x-35`
Venster bijvoorbeeld: `text(-)1 le x le 1` en `text(-)50 le y le text(-)30` .

De dy/dx-functie geeft `f'(0) = 10,000001` . Dit is omdat de GR een kleine afrondingsfout maakt, doordat er benaderd wordt.

c

`f'(x) = 10` geeft `1,5x^2 - 9x + 10 = 10` en hieruit volgt `x = 0 vv x = 6` .
Het zijn de punten `(0, text(-)35)` en `(6, text(-)29)` .

Opgave 7
a

`f'(x) = 1*3x^2 - 4*1x^0 = 3x^2 - 4` en `f'(1) = 3*1^2 - 4 = text(-)1` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `f'(1) = text(-)0,999999` .

b

`g'(x) = 1*4x^3 + 2*3x^2 - 5*2x^1 + 12*1x^0 - 0 = 4x^3 + 6x^2 - 10x + 12` en `g'(1) = 4*1^3 + 6*1^2 - 10*1 + 12 = 12` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `g'(1) = 12,000006` .

c

`s'(t) = 60*1t^0 - 4,9*2t^1 = 60 - 9,8 t` en `s'(1) = 60 - 9,8*1 = 50,2` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `s'(1) = 50,2` .

d

`H(t) = 2(t^2 - 4 ) = 2t^2 - 8`

`H'(t) = 2*2t^1 - 0 = 4t` en `H'(1) = 4*1 = 4` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `H'(1) = 4` .

e

`V = 5 - (x - 3)^2 = 5 - (x^2 - 6x + 9) = text(-)x^2 + 6x - 4 `

`V' = text(-)1*2x^1 +6 *1x^0 = text(-)2x + 6` en `V'(1) = text(-)2*1 + 6 = 4` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `V'(1) = 4` .

f

`P'(x) = a*3x^2 + b*2x^1 + c*1x^0 = 3ax^2 + 2bx + c` en `P'(1) = 3a*1^2 + 2b*1 + c = 3a + 2b + c` .

g

`TW'(q) = 0,5*3q^2 - 6*2q^1 - 25*1q^0 + 0 = 1,5q^2 - 12q - 25` en `TW'(1) = 1,5*1^2 - 12*1 - 25 = text(-)35,5` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `TW'(1) = text(-)35,5` .

h

`K(x) = (3x^2 - 2a)(ax - 1) = 3ax^3 - 3x^2 - 2a^2 x + 2 a` .

`K'(x) = 3a*3x^2 - 3*2x^1 - 2a^2*1x^0 + 0 = 9ax^2 - 6x - 2a^2` en `K'(1) = 9a - 6 - 2a^2` .

Opgave 8
a

`f'(x) = 4x^3 - 16x` en `f'(x) = 0` als `x = 0 vv x = text(-)2 vv x = 2` .
De gevraagde punten zijn `(0, 0)` , `(text(-)2, text(-)16)` en `(2, text(-)16)` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `f'(text(-)2) = text(-)0,000008` , `f'(0) = 0` en `f'(2) = 0,000008` .

b

`TW'(q) = text(-)3 q^2+6 q+3` en `TW'(q) = 0` als `q = 1-sqrt(2) vv q = 1+sqrt(2)` .
De gevraagde punten zijn `(2,4; 16,7)` en `(text(-)0,4; 5,3)` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `TW'(2,4) = TW'(text(-)0,4) = 0,119999` . Dat komt in de buurt van `0` (voor `q = 2,41` krijg je al `TW'(2,41) = 0,035699` ).

c

`v'(t) = 3t^2 - 4t + 1` en `v'(t) = 0` als `t = 1/3 vv t = 1` .

De gevraagde punten zijn `(1/3; 0,1)` en `(1, 0)` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `v'(1/3) = v'(1) = 0,000001` .

d

`TW'(p) = 40 - 0,04p` en `TW'(p) = 0` als `p = 1000` .
Het gevraagde punt is `(1000, 20000)` .

De dy/dx-functie op de GR geeft `TW'(1000) = 0` .

Opgave 9
a

`(text(d)y)/(text(d)x) = 3x^2 - 51x + 180`

b

Als de afgeleide `0` is heeft de grafiek een horizontale raaklijn.

c

`y'(x) = 3x^2 - 51x + 180 = 0` geeft `x^2 - 17x + 60 = (x-12)(x-5) = 0` dus `x = 5 ∨ x = 12` .

d

Bekijk de grafiek. De functie is dalend als `5 < x < 12` .

Dan is `y'(x) lt 0` .

Opgave 10
a
`(x^2 - 4)(x^2 - 9)` `=` `0`
`x^2` `=` `4 vv x^2 = 9`
`x` `=` `text(-)2 vv x = 2 vv x = text(-)3 vv x = 3`
b

`f(x) = (x^2 - 4)(x^2 - 9) = x^4 - 13x^2 + 36` en `f'(x) = 4x^3 - 13*2x^1 + 0 = 4x^3 - 26x`

c

`f'(text(-)2) = 20` en `f'(2) = text(-)20` zijn de hellingsgetallen van de raaklijnen.

`f(text(-)2) = f(2) = 0` . Vul `(text(-)2, 0)` in `y = 20x + b` in en vul `(2, 0)` in `y = text(-)20x + b` in.

`0 = 20*text(-)2 + b` geeft `b = 40` en `0 = text(-)20*2 + b` geeft `b = 40` .

De raaklijn voor `x = text(-)2` is `y = 20x+ 40` . De raaklijn voor `x = 2` is `y = text(-)20x + 40` .

Het snijpunt is `(0, 40)` .

d

`4x^3 - 26x = 4x(x^2 - 6,5) = 0` geeft `x = 0 vv x = text(-)sqrt(6,5) vv x = sqrt(6,5)` .

e

Je vindt daarmee de drie extremen: max. `f(0) = 36` , min. `f(text(-)sqrt(6,5)) = text(-)6,25` en min. `f(sqrt(6,5)) = text(-)6,25` .

Opgave 11De baan van een kogel
De baan van een kogel
a

`h(0) = 0,5` , dus het voorwerp is op een hoogte van `0,5` meter afgeschoten.

b

`h(x) = text(-)0,01x^2 + 0,2x + 0,5`

`h'(x) = text(-)0,02x + 0,2`

Invullen geeft: `h'(0) = 0,2` .

c

Het is de snelheid waarmee `h` verandert voor `x = 0` .

d

`text(-)0,02x + 0,2 = 0` geeft `x = 10` .

`h(10) = 1,5`

`h'(x) = 0` bij het punt `(10; 1,5)` . Dit is de top van de kogelbaan.

e

De snelheid waarmee de hoogte van de baan verandert, is op dat punt `0` .
Maar er is ook een voorwaartse snelheidscomponent.

Opgave 12Gemiddelde totale kosten
Gemiddelde totale kosten
a

`GTK(q) = (1200 + 0,2q^2)/q = 1200/q + 0,2 q`

b

Verticale asymptoot `q = 0` .

Als `q = 0` kun je geen gemiddelde kosten bepalen.

c

Voer in: `y_1 = 1200//x + 0,2x` en `y_2(x) = y_1(x+0,001) - y_1(x)` of `y_2 = ((text(d)y_1)/(text(d)x))_(x=x)` .
Er is sprake van een minimum als de grafiek overgaat van dalen naar stijgen, dus de helling overgaat van negatief naar positief. Het nulpunt van de hellingsgrafiek is `x ~~ 77,459616` .
Bij een productie van `77` zijn de gemiddelde kosten zo laag mogelijk.

d

`GTK → 0,2` als `q → ∞` ( `∞` is het symbool voor "oneindig groot" ).
De productiekosten per eenheid veranderen op den duur met de (vaste) kosten van `0,2` euro per artikel.

Opgave 13
a

`f'(x) = 6x^5 + 8`

b

`f'(x) = text(-)4,5x^2 + 4`

c

`f'(x) = 3x^2 - 4x`

d

`f'(x) = 8x + 4`

Opgave 14
a

`f'(x) = 9 + 6x - 3x^2` geeft `f'(0) = 9` .

b

`y = 9x`

c

`(text(-)1, text(-)5 )` en `(3, 27 )` .

d

`(1, 11)`

verder | terug