Afgeleide functies > Extremen berekenen
12345Extremen berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`d=1,83` meter en `h = 0,91` meter

Opgave 1
a

`f'(x)=3 x^2-3`

b

`f'(x)=3x^2-3 = 0` geeft `x=+-1` .

c

Maximum `f(text(-)1 )=2` en minimum `f(1 )=text(-)2` .

Opgave 2
a

`f'(x)=0,3 x^2-120`

b

`f'(x)=0,3 x^2-120 =0` kun je noteren als `x^2=400` en hieruit volgt `x=text(-)20 vv x=20` .

c

Maak een tekenschema van `f'` , bedenk dat `f'` een dalparabool is.

Max. `f(text(-)20)=1600` en min. `f(20 )=text(-)1600` .

Opgave 3
a

`f'(x)=3x^2=0` geeft `x=0` .

b

Deze functie heeft voor `x=0` een horizontale raaklijn. Heeft de functie ook een extreme waarde voor `x=0` ?

c

Bekijk de grafiek van de functie `g(x)=sqrt(x)` . Wat is er aan de hand in `x=0` ?

De functie en de afgeleide hebben er beide de waarde `0` , maar er is geen extreme waarde.

De functie en de afgeleide hebben er beide de waarde `0` en er is een minimum van `f(0 )=0` .

Alleen de functie heeft er de waarde `0` en `f'(0 )` is onbekend. Er is geen extreme waarde.

Alleen de functie heeft er de waarde `0` en `f'(0 )` is onbekend. Er is een minimum van `f(0 )=0` .

Opgave 4
a

`100 x^2 = x^2(x-10)^2` geeft `x^2=0 vv (x-10)^2=100` en `x=0 vv x=20` .

De snijpunten zijn `(0, 0)` en `(20, 40000)` .

b

`g(x)=x^2(x^2-20x+100)= x^4-20x^3+100x^2` en `g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x` .

`g'(x)=4 x^3-60 x^2+200 x=0` geeft `x=0 vv x=5 vv x=10` .

GR of tekenschema `g'` : min. `g(0 )=0` , max. `g(5 )=625` en min. `g(10 )=0` .

c

`g(x)` heeft een maximum voor `x=5` .

`a*5^2=5^2 (5 -10 ) ^2` geeft `a=25` .

Vervang `100` door het getal `25` .

Opgave 5
a

`R'(q)=text(-)4+49`

b

Er moet gelden `R'(q)=0` .

`R'(q)=text(-)4q+49=0` geeft `q=12,25` .

Bij een productie van `1225` is de opbrengst het hoogst.

Opgave 6
a

De oppervlakte van de bak bestaat uit opp(bodem) + `2*` opp(voorkant) `+2*` opp(zijkant).
Door invullen van breedte diepte en hoogte onstaat de formule.

b

Voer in: Y1=6X+1000/3+2000/X en bepaal het minimum.

Dit geeft `d~~18,26` .

Opgave 7

`f'(x)=4 x^3-16 x 4x(x^2-16)=0` geeft `x=0 vv x++-2` .

GR of tekenschema `f'` : min. `f(text(-)2 )=text(-)16` , max. `f(0)=0` en min. `f(2 )=text(-)16` .

Opgave 8
a

`f(x)=4000-10x^2=0` geeft `x^2=400` en dus `x=text(-)20` en `x=20` .

`g(x)=(x-10 )(x^2-400 )=0` geeft `x=10 vv x^2=400` en dus `x=text(-)20` , `x=10` en `x=20` .

b

`f'(x)=text(-)20x=0` voor `x=0` . De grafiek van `f(x)` is een bergparabool, het maximum is `f(0)=4000` .

`g'(x)=3 x^2-20 x-400 =0` als `x= (20 ±sqrt(5200 )) /6` .

De extremen van `g` zijn: max. `g(text(-)8,69 )≈6064,60` en min. `g(15,35 )≈text(-)879,42` .

c

`f(x)=g(x)` geeft `4000-10x^2=(x-10)(x^2-400)` en `x^3-400x=x(x^2-400)=0` zodat `x=0vvx=+-20` .

GR: `x≤text(-)20 ∨0 ≤x≤20`

Opgave 9
a

`(400-200)/100=2`

De winst stijgt gemiddeld met € 2,00 per kg.

b

Maak een tabel van `TK(q)` met de grafische rekenmachine en vergelijk de waarden met de gegeven tabel. Niet elke waarde zal honderd procent hetzelfde zijn.

c

`TW=225 q-TK=225 q-(10 q^3-60 q^2+130 q)=text(-)10 q^3+60 q^2+95 q`

d

`TW'(q)=text(-)30 q^2+120 q+95`
`TW'=0` als `q~~4,68` .
De grafiek van `TW'` is een bergparabool, dus je hebt te maken met een maximum. Dit kun je ook nagaan met een tekenschema.

`TW(4,68 )≈733,71`

De maximale winst is € 733,71.

Opgave 10

`W'(x)=text(-)0,75q^2+18q-33`
`W'(x)=text(-)0,75q^2+18q-33=0` geeft `q=2 vv q=22` .

Uit de grafiek van `W` of een tekenschema volgt dat er een minimum bij `q=2` is en een maximum bij `q=22` .

`W(22)=918`

Bij een productie van `22000` is er een maximale winst van € 91800,00.

Opgave 11
a

`(600 -5 /100 *600 )*(10 +5 *0,25 )=6412,50` euro

b

`TO(p)=(600 -6 p)(10 +0,25 p)=6000 +90 p-1,5 p^2`

c

`TO'(p) = 90-3p=0` geeft `p=30` .
Dus is `30` % indroging het gunstigst.

Opgave 12
a

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

b

Voor de lengte van de sintelbaan: `2l+2πr=400` .

Voor de oppervlakte `A` van het sportveld: `A=l*2r`  

c

Gegeven is `L=400=2l+2πr` , dus  `l=200-πr` .

Nu maak je een functie voor `A` , waarin alleen `r` als variabele voorkomt.

`l` substitueren in `A` geeft `A = (200-πr)*2r=400r-2πr^2` .

d

De grafiek van `A(r)` is een bergparabool. Het maximum zit bij het punt waarvoor geldt `A'(r)=0` . Voor die afgeleide functie geldt `A'(r)=400-4pi r` en `400-4pi r=0` , dus `r=400/(4pi)=100/(pi)~~31,8` m.

Dus voor de lengte van het sportveld geldt:  `l=200-pir=200-pi*100/pi=100` m

Voor de breedte geldt: `b=2r=2*100/pi=200/pi~~63,6` m.

Opgave 13
a

Zie de antwoorden in het vervolg van deze opgave.

b

Noem de inhoud en oppervlakte van het karton respectievelijk `I` en `A` . Dan is:

`I=x^2*h`
`A=2x^2+4xh`

c

`2 *8^2+4 *8 *21 =800` cm2

Dus `A=2x^2+4xh = 800` , zodat `h= (800 -2 x^2) / (4 x)` .

d

`I=x^2*h = x^2 * (800 -2 x^2) / (4 x) = 200 x-1/2x^3` .

e

De afgeleide is: `I'(x)=200-1 1/2x^2` .

En `I'(x)=0` geeft `x=+-sqrt(133 1/3)` .

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` een maximum heeft bij `x=sqrt(133 1/3)~~11,547` cm. De waarde `x=text(-)sqrt(133 1/3)` vervalt, want `x>0` .

f

`h ≈ (800-2*11,547^2)/(4*11,547)≈11,547` cm.

De afmetingen zijn ongeveer `11,5` bij `11,5` bij `11,5` cm.

Opgave 14
a

Voor de breedte en de lengte van het bakje geldt dan `b=l=20-2x` .

Dus voor de inhoud kun je de volgende formule opstellen: `I(x)=l*b*h=(20-2x)^2x=x(400-80x+4x^2)=4x^3-80x^2+400x` .

b

De zijde van het ingeknipte vierkantje kan niet negatief zijn en kan ook niet groter zijn dan `10` cm, want dan zou het karton volledig doorgeknipt worden. Dus: `0 < x < 10` cm.

c

`I'(x)=12 x^2 -160 x+400=0` geeft `x=10/3∨x=10` .

max. `I(10/3)=16000/27≈593` cm3

Uit de schets van `I` blijkt dat `x` daar inderdaad een maximum heeft.

Opgave 15
a

`f'(x)=text(-)4 x^3+6 x^2=0` geeft `x=0 ∨x=1,5` .
Min. `f(0 )=0` en max. `f(1,5 )=1,6875` .

b

`(text(d)y) / (text(d)x) =3 x^2-12 x=0` geeft `x=0 ∨x=4` .
Max. `f(0 )=0` en min. `f(4 )=text(-)32` .

Opgave 16
a

Max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

b

`f'(x)=20 x^4-160000 x=0` als `x=0 ∨x=20` .
Max. `f(0 )=2557` en min. `f(20 )=text(-)19197443` .

c

Twee, zie grafiek (die je nu goed in beeld kunt brengen).

verder | terug