Afgeleide functies > Extremen berekenen
12345Extremen berekenen

Uitleg

In een maximum van een grafiek gaat de grafiek over van stijgen naar dalen. De helling gaat op dat punt over van positief naar negatief. De grafiek van de afgeleide is de hellingsgrafiek en gaat op hetzelfde punt over van positief naar negatief.

Bekijk de grafiek (rood) van de functie `f(x)=x^4-2 x^2+4` . De andere grafiek (blauw) is de grafiek van de afgeleide `f'` , de hellingsgrafiek. Je ziet dat:

  • de grafiek van `f` een minimum heeft als de afgeleide overgaat van negatief naar positief (voor `x=text(-)1` en voor `x=1` );

  • de grafiek van `f` een maximum heeft als de afgeleide overgaat van positief naar negatief (voor `x=0` ).

Voor het bepalen van extremen gebruik je de waarden van `x` waar de afgeleide overgaat van positief in negatief of andersom. Dit is bij een nulpunt van de afgeleide.
Als de afgeleide `0` is, heeft de grafiek van de functie een horizontale raaklijn.

De extremen van de functie `f(x)=x^4-2x^2+4` bereken je dus zo:

  • Bereken eerst voor welke `x` -waarden de afgeleide `0` is:
    `f'(x)=0` geeft `4x^3 - 4x = 0`
    Hieruit vind je: `x = 0 vv x = text(-)1 vv x = 1`

  • Maak een tekenschema van `f'` of bekijk de grafiek van `f` . Controleer of de afgeleide van teken wisselt.

  • Bereken de extremen:
    minimum `f(text(-)1)=3` , maximum `f(0)=4` en minimum `f(1)=3` .

Opgave 1

In de Uitleg zie je hoe je bij een functie de extreme waarden berekent.

Gegeven is de functie `f(x)=x^3-3 x` .

a

Bepaal de afgeleide van `f` .

b

Bereken de nulpunten van de afgeleide.

c

Maak een tekenschema van `f'` of bekijk de grafiek van `f` en bepaal de extremen van `f` .

verder | terug