Kansrekening

Kansrekening > Kansen vermenigvuldigen

12345Kansen vermenigvuldigen

Voorbeeld 4

Uit een vaas met $6$ rode en $4$ blauwe knikkers worden zonder teruglegging twee knikkers getrokken.
Je krijgt alleen de tweede knikker te zien, die is blauw.
Hoe groot is de kans dat de eerste knikker rood is?

> antwoord

Het maakt bij de tweede trekking verschil of de eerst getrokken knikker rood of blauw was. Door niet terug te leggen is immers de oorspronkelijke situatie gewijzigd. De tweede trekking is daarom afhankelijk van de eerste.

De gevraagde kans is $P (R_{1} | B_{2})$ .
Omdat $P (B_{2}) = P (R_{1} en B_{2}) + P (B_{1} en B_{2}) =$
$= P (R_{1}) \cdot P (B_{2} | R_{1}) + P (B_{1}) \cdot P (B_{2} | B_{1}) = \frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} + \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{36}{90}$
is gemiddeld in $36$ van de $90$ trekkingen de tweede bal blauw.
In $4 \cdot 6 = 24$ van die trekkingen was de eerste bal rood.
De gevraagde kans is daarom $\frac{24}{36}$ .

Merk op dat je deze kans kunt berekenen vanuit $P (B_{2})$ en $P (R_{1} en B_{2})$ :

$P (R_{1} | B_{2}) = \frac{P (R_{1} en B_{2})}{P (B_{2})}$ .

Ga na dat dit netjes past bij de algemene productregel voor afhankelijke gebeurtenissen.

Opgave 6

In Voorbeeld 4 gaat het om de eerste knikker.

Hoe groot is de kans dat de eerste knikker blauw is?

Stel je nu voor dat de tweede knikker rood is. Hoe groot is dan de kans dat de eerste knikker blauw is?

Opgave 7

Je hebt nu een vaas met $7$ rode, $5$ witte en $8$ blauwe knikkers. Je trekt hieruit in één greep drie knikkers.

Bereken de kans op $3$ rode knikkers.

Bereken P(derde knikker is blauw | eerste twee knikkers zijn rood).

Bereken P(derde knikker is blauw en eerste twee knikkers zijn rood).

Bereken de kans op $2$ rode knikkers.

Bereken de kans op drie knikkers van verschillende kleur.

Opgave 8

Voorwaardelijke kansen komen geregeld voor als je kansen berekent bij gegeven tabellen. Een voorbeeld is een onderzoek naar de Mantoux-test onder een grote groep personen. De Mantoux-test is een huidtest die wordt gebruikt om na te gaan of iemand tuberculose heeft. Vrijwel alle personen die aan tuberculose lijden laten een reactie zien op deze huidtest, maar ook een zeer klein deel van de personen die niet aan tuberculose lijden vertonen die reactie.
De tabel laat dat zien:

Mantoux-test	tuberculose	geen tuberculose
reactie	98	99	197
geen reactie	2	9801	9803
	100	999	10.000

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat iemand die een reactie vertoont op de Mantoux-test ook inderdaad aan tuberculose lijdt.

Bereken in vier decimalen nauwkeurig de kans dat iemand die geen reactie vertoont toch aan tuberculose lijdt.

verder | terug