Afgeleide functies > BuigpuntenUitleg
Bekijk de grafiek van de functie
`f(x) = x^3 - 20x^2 + 150x + 100`
.
De functiewaarden stijgen voortdurend:
-
ongeveer tot `x = 7` is er afnemende stijging;
-
ongeveer vanaf `x = 7` is er toenemende stijging.
Het punt waarin de helling overgaat van toenemend naar afnemend (of omgekeerd) heet een buigpunt van de grafiek.
Om dit buigpunt te schatten, kijk je naar het verloop van de helling van de grafiek. Die helling neemt eerst af en daarna weer toe. Zij heeft een minimale waarde bij het buigpunt. Om het buigpunt exact te berekenen zoek je een minimum van de afgeleide.
De afgeleide is:
`f'(x) = 3x^2 - 40x + 150`
.
Een minimum van deze functie vind je door differentiëren. Bepaal de afgeleide van
`f'`
, de afgeleide van de afgeleide dus. Je spreekt dan van de tweede afgeleide die je
aangeeft met
`f''`
.
Hier is
`f''(x) = 6x - 40`
.
Los eerst op:
`f''(x) = 6x - 40 = 0`
.
Dit geeft
`x = 40/6 ~~ 6,67`
.
Maak eventueel een tekenschema van de tweede afgeleide.
De tweede afgeleide wisselt bij
`x ~~ 6,67`
van teken, er is een buigpunt met
`f(6,67) ~~ 507,41`
.
Het buigpunt is
`(6,67; 507,41)`
.
In de
Voer de berekening zelf uit en bepaal het buigpunt in breuken, dus zonder af te ronden.
Is in dit buigpunt ook de richtingscoëfficiënt van de raaklijn `0` ? Licht je antwoord toe.
Bekijk de figuur met een deel van de grafiek van `f(x) = x^3 - 3x^2 + 6` .
Zolang `x < 1` wordt de helling van de grafiek steeds kleiner. Wat betekent dit voor de afgeleide van de hellingsfunctie `f'(x)` ?
Die is dan dalend.
Die is dan negatief.
Die heeft dan een minimum.
Het punt `(1, 4)` van de grafiek van `f` noem je een buigpunt omdat de helling daar overgaat van dalend in stijgend. Wat weet je van de afgeleide in dit buigpunt? En van de afgeleide van de afgeleide?
De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide is `0` .
De afgeleide is minimaal, de afgeleide van de afgeleide ook.
De afgeleide is negatief, de afgeleide van de afgeleide is `0` .
De afgeleide is `0` , de afgeleide van de afgeleide is minimaal.
De afgeleide van de afgeleide noem je de tweede afgeleide van de gegeven functie. Met behulp van de tweede afgeleide kun je het buigpunt met de hand berekenen. Laat zien hoe dat gaat.