Kansrekening

Opgave 7

Het aantal jongens in een gezin met $4$ kinderen is een toevalsvariabele $J$ . Ga er van uit dat de kans op de geboorte van een meisje hetzelfde is als de kans op de geboorte van een jongen.

a

Maak een tabel met de kansverdeling van $J$ .

b

Wat vermoed je over het verwachte aantal jongens in zo’n gezin? Reken na of je vermoeden klopt.

c

Als je $150$ van die gezinnen bekijkt, hoeveel jongens komen daar dan in voor? Licht het antwoord toe.

Opgave 8

Uit een vaas met $30$ rode en $3$ groene balletjes wordt $4$ keer een balletje getrokken.

a

$X$ stelt het aantal getrokken groene balletjes voor als telkens wordt teruggelegd. Stel de kansverdeling van $X$ op.

b

$Y$ stelt het aantal getrokken groene balletjes voor als niet wordt teruggelegd. Stel de kansverdeling van $Y$ op.

Opgave 9

Uit een klas met $16$ meisjes en $12$ jongens worden vier leerlingen gekozen. $M$ is het aantal meisjes in die groep van vier.

a

Welke waarden kan $M$ aannemen?

b

Stel een kansverdeling op voor $M$ .

c

Bepaal het verwachte aantal meisjes in de groep van vier.

Opgave 10

Je gooit met twee dobbelstenen en vermenigvuldigt het aantal ogen op de éne met het aantal ogen op de andere. Dat is de waarde van de toevalsvariabele $Z$ .

a

Stel de kansverdeling van $Z$ op.

b

Je krijgt de waarde die $Z$ aanneemt uitbetaald in euro’s. Zou je voor dat spel € 12,00 willen inzetten? Hoe groot is dan de kans dat je met één spel iets wint?

Opgave 11

In de finale herenenkel van het tennistoernooi van Wimbledon wordt gespeeld om "best of five" : wie het eerst $3$ sets heeft gewonnen is kampioen. Na hoogstens $5$ sets is er dus een winnaar, het kan al na $3$ sets. Neem je aan dat beide finalisten even sterk zijn en kans $50$ % hebben om een set te winnen, dan is het aantal in de finale gespeelde sets een toevalsvariabele $S$ .

a

Maak daarvan een kansverdeling en bereken het verwachte aantal sets.

b

Neem aan dat het toernooi van Wimbledon al $100$ keer is gespeeld. Hoeveel sets zijn er dan in totaal in de finales gespeeld naar verwachting?

De werkelijke gegevens leren toch anders, zie de tabel over $90$ finales.

partijlengte	3 sets	4 sets	5 sets
aantal keer	44	22	24

c

Bepaal de experimentele kansverdeling en verwachtingswaarde van $S$ .

De oorspronkelijke aanname was dus niet zo goed. Stel je nu voor dat de kans om de eerste set te winnen $50$ % blijft, maar de kans om de set na een gewonnen set te winnen $70$ % is (de "winning mood" ).

d

Maak nu opnieuw een kansverdeling (bekijk zorgvuldig alle gevallen).

e

Bereken het verwachte aantal sets bij de nieuwe kansverdeling.

Opgave 12

In een casino wordt het volgende spel gespeeld. Er wordt maximaal $6$ keer met een zuivere munt geworpen totdat "kruis" boven komt. De speler krijgt 1, 2, 4, 8, 16, of 32 euro uitbetaald als bij worp nummer $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , respectievelijk $6$ keer kruis wordt gegooid. Bij $6$ keer munt krijgt hij niets. $Y$ is de uitbetaling in euro’s.

a

Stel de kansverdeling van $Y$ op.

b

Welke inzet moet het casino voor dit spel tenminste vragen om er op de lange duur geen geld bij in te schieten?

c

Hoe groot is de kans dat je bij het spelen van dit spel minstens $16$ euro krijgt uitbetaald?

Opgave 13

Uit een groep van $10$ mannen en $16$ vrouwen worden door loten $4$ vertegenwoordigers aangewezen. $M$ stelt het aantal aangewezen mannen voor, $V$ het aantal aangewezen vrouwen.

a

Bereken $P (M = 0)$ en $P (M = 1)$ (in procenten, afronden op twee decimalen).

b

Maak een kansverdeling voor $M$ (in procenten, afronden op twee decimalen).

c

Maak een kansverdeling voor $V$ (in procenten, afronden op twee decimalen).

d

Bereken de verwachtingswaarde van $M$ en $V$ .

Verwerken