Differentieerregels > Differentieerregels
123456Differentieerregels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`f_1'(x) = 30x^4 + 6x^2`

b

`f_2'(x) = 30x^4 - 6x^2`

c

`f_3'(x) = 96x^7`

d

`f_4'(x) = 6x`

e

Dat ontdek je verder in dit onderwerp.

Opgave 1
a

De somregel/verschilregel (elke term mag je afzonderlijk differentiëren), de machtsregel en de constanteregel.

`f'(x) = 9x^2 + 12x`

b

De afgeleide van een functie is een formule waarmee je de helling van de grafiek voor elke waarde van `x` kunt berekenen.

c

In de extremen heeft de functie meestal een hellingswaarde van `0` , dus is daar `f'(x) = 0` .

`f'(x) = 9x^2 + 12x = 3x(3x + 4) = 0` geeft `x = 0 vv x = text(-)4/3` .

Als je de grafiek van `f` bekijkt met je GR, dan zie je: max. `f(text(-)4/3) = text(-)8 4/9` en min. `f(0)=text(-)12` .

Opgave 2
a

`k(x) = (0,5x^3 - x^2) * x^2 = 0,5x^5 - x^4`
`k'(x) = 2,5x^4 - 4x^3`

b

`l(x) = (0,5x^3 - x^2)/(x^2) = 0,5x - 1`
`l'(x) = 0,5`

c

Omdat deze functie niet is te schrijven als som/verschil van machtsfuncties.

Opgave 3
a

`f'(x) = 0 - 1/2*3x^2 = text(-)1 1/2 x^2`

b

`TK'(q) = 3*2q^2 + 2*60q - 100 = 6q^2 + 120q - 100`

c

`I'(d) = 1/6*pi*3d^2 = 1/2 πd^2`

d

`f(x) = x^2 - 20x`
`f'(x) = 2x - 20`

e

`T'(p) = 3a^2p^2 - a`

f

`f(x) = x(x+4)(x+4) = x(x^2 + 8x + 16) = x^3 + 8x^2 + 16x`
`f'(x) = 3x^2 + 16x + 16`

Opgave 4
a

De nulpunten zijn `(0, 0)` en `(60, 0)` .
Venster bijvoorbeeld: `text(-)20 le x le 90` en `text(-)20000 le y le 30000` .

b

`f'(x) = 3600 - 240x + 3x^2 = 0` geeft `x^2 - 80x + 1200 = (x-20)(x-60) = 0` en `x = 20 vv x = 60` . Vervolgens bekijk je de grafiek en vul je de gevonden waarden in de functie `f` in.

c

`f'(10) = 3600 - 240*10 + 3*10^2 = 1500`

Opgave 5
a

De vaste productiekosten bedragen € 2000. Dit kunnen bijvoorbeeld de kosten zijn voor een machine om deze apparaten te maken.

b

`(text(d)K)/(text(d)q) = K'(q) = 12 q^2 - 144q + 600`

c

Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `0 le y le 20000` .

d

Gebruik de tweede afgeleide.
`K''(q)=24q-144=0` geeft `q=6` .
Het gevraagde punt is `(6, 3872)` .

Opgave 6
a

`f'(x) = 30x^5 - 65x^4 + 10`

b

`f'(x) = 2ax + b`

c

`P'(I) = 2 RI`

d

`y(x) = x^4 - 10x^2 + 9`
`(text(d)y)/(text(d)x) = 4x^3 - 20x`

e

`f'(x) = text(-)64x^7`

f

`f'(x) = 6ax^2 - 3a^2`

g

`(text(d)A)/(text(d)r) = 2πr + 2l`

h

`h(x) = 3x^2(100 - 20x + x^2) = 300x^2 - 60x^3 + 3x^4`
`h'(x) = 600x - 180x^2 + 12x^3`

Opgave 7
a

`f'(x) = 12/5 x^2 - 6x`
Voer in: `y_1=4/5x^3-3x^2` en `y_2=12/5x^2-6x` .
(Je kunt ook de afgeleide laten maken door de GR zonder zelf te differentiëren.)
Gebruik standaard vensterinstellingen.

b

Bepaal de `x` waarden van de nulpunten van de hellingsgrafiek en bekijk daar de grafiek van `f` .

c

`f'(x) = 12/5 x^2 - 6x = 0` geeft `x = 0 vv x = 2,5` .
Grafiek: min. `f(2,5) = text(-)6,25` en max. `f(0) = 0` .

d

`f'(5) = 30`

e

`f''(x) = 24/5 x - 6 = 0` geeft `x = 1,25` .
Lees uit de grafiek (of een tekenschema van `f''` ) af dat er één buigpunt is, namelijk `(1,25; text(-)3,125)` .

Opgave 8
a

`y'(x) = 3x^2 - 10x + 7` geeft `y'(2) = text(-)1` .

b

`y'(x) = text(-)1` geeft `3x^2 - 10x + 8 = 0` . Deze vergelijking heeft twee oplossingen. Hieruit volgt dat er nog een punt op de grafiek is waarin de hellingswaarde van de grafiek `text(-)1` is.

Opgave 9
a

Er is een top bij `x = 3` , met in dit geval een maximum.

b

De vorm van een parabool, want de hellingsgrafiek is een dalende rechte lijn.

Omdat `f'(x) = text(-)0,5x + 1,5` moet `f` iets zijn als `f(x) = text(-)0,25x^2 + 1,5x + c` , waarbij je `c` (een constante) nog niet weet. En dat is een kwadratisch verband.

Opgave 10
a

`f(x) = x^3(x^2 - 40x + 400) = x^5 - 40x^4 + 400 x^3` geeft `f'(x) = 5x^4 - 160x^3 + 1200x^2` .
`f'(x) = 0` levert op: `x = 0 ∨ x = 12 ∨ x = 20` .

b

Voor `x=0` wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van `x = 0` is de grafiek van `f` stijgend.

Opgave 11Bakje met maximale inhoud
Bakje met maximale inhoud
a

`I(x) = x(20 - 2x)(60 - 2x) = 1200x - 160x^2 + 4x^3`

b

`I'(x) = 12x^2 - 320x + 1200 = 0` oplossen geeft `x = (320 +- sqrt(44800))/(24)` .
Uit de grafiek van `I` blijkt dat de inhoud maximaal is als `x = (320 - sqrt(44800)) /(24) ≈ 4,5` cm.

Opgave 12Goten voor bevloeien van akkers
Goten voor bevloeien van akkers
a

`x = 40 - 2h` of `h = 20 - 0,5x` met `x` en `h` in centimeter

b

`H(x) = 200*x*h = 200*x*(20 - 0,5x) = 4000x - 100x^2`

c

`H'(x) = 4000 - 200x = 0` geeft `x = 20` .
GR: maximum voor `x = 20` cm.

Opgave 13
a

`f'(x) = text(-)2x^3 + 3`

b

`f'(x) = text(-)12x - 4x^3`

c

`f'(x) = 3x^2 - 2x - 1`

d

`f'(x) = a - 3ax^2`

e

`H'(t) = 12pt^2`

f

`(text(d)y)/(text(d)t) = 6000t - 300t^2 - 80t^3`

Opgave 14
a

`f(2) = 7`

b

`f'(2) = 19/3`

Opgave 15
a

Min. `f(0) = text(-)10` en max. `f(4) = 22` .

b

`(2 , 6)`

verder | terug