Differentieerregels > Differentieerregels
123456Differentieerregels

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`(f_1) ^ (′) (x)=30 x^4+6 x^2`

b

`(f_2) ^ (′) (x)=30 x^4-6 x^2`

c

`(f_3) ^ (′) (x)=96 x^7`

d

`(f_4) ^ (′) (x)=6 x`

e

Dat ontdek je verder in dit onderdeel.

Opgave 1
a

De somregel/verschilregel (elke term mag je afzonderlijk differentiëren), de machtsregel en de constanteregel.

`f'(x) = 9x^2 + 12x`

b

De afgeleide van een functie is een formule waarmee je de helling van de grafiek voor elke waarde van `x` kunt berekenen.

c

In de extremen heeft de functie meestal een hellingswaarde van `0` , dus is daar `f'(x)=0` .

`f'(x) = 9x^2 + 12x = 0` geeft `x = 0 vv x = text(-)4/3` .

Als je de grafiek van `f` bekijkt met je GR, dan zie je: max. `f(text(-)4/3) = text(-)8 4/9` en min. `f(0)=text(-)12` .

Opgave 2
a

`k(x) = (0,5x^3 - x^2) * x^2 = 0,5x^5 - x^4`
`k'(x) = 2,5x^4 - 4x^3`

b

`l(x) = (0,5x^3 - x^2) / (x^2) = 0,5x - 1`
`l'(x) = 0,5`

c

Omdat deze functie niet is te schrijven als som/verschil van machtsfuncties.

Opgave 3
a

`f'(x)=0-3*(1/2)x^2=text(-)1 1/2x^2`

b

`TK'(q)=3*2q^2+2*60q-100=6 q^2+120 q-100`

c

`I'(d)=1/2πd^2`

d

`f(x)=x^2-20x`
`f'(x)=2x-20`

e

`T'(p)=3 a^2p^2-a`

f

`f(x)=x(x+4)(x+4)=x(x^2+8x+16)=x^3+8x^2+16x`
`f'(x)=3x^2+16x+16`

Opgave 4
a

De nulpunten zijn `(0, 0)` en `(60, 0)` .
Venster bijvoorbeeld: `text(-)20 le x le 90` en `text(-)20000 le y le 30000` .

b

`f'(x)=3600 -240 x+3 x^2=0` geeft `x^2 - 80x + 1200 = (x-20)(x-60)=0` en `x=20vvx=60` . Vervolgens bekijk je de grafiek en vul je de gevonden waarden in de functie `f` in.

c

`f'(10 )= 3600-240*10+3*10^2 = 1500`

Opgave 5
a

De vaste productiekosten bedragen € 2000,00. Dit kunnen bijvoorbeeld de kosten zijn voor een machine om deze apparaten te maken.

b

`(text(d)K) / (text(d)q) =K'(q)=12 q^2-144 q+600`

c

Venster bijvoorbeeld: `0 le x le 20` en `0 le y le 20000` .

d

Gebruik de tweede afgeleide.
`K''(q)=24q-144=0` geeft `q=6` .
Het gevraagde punt is `(6, 3872)` .

Opgave 6
a

`f'(x)=30 x^5-65 x^4+10`

b

`f'(x)=2 ax+b`

c

`P'(I)=2 RI`

d

`y(x)=x^4-10x^2+9`
`(text(d)y) / (text(d)x) = 4 x^3-20 x`

e

`f'(x)=text(-)64 x^7`

f

`f'(x)=6 ax^2-3 a^2`

g

`(text(d)A) / (text(d)r) =2 πr+2 l`

h

`h(x)=3x^2(100-20x+x^2)`
`h'(x)=600 x-180 x^2+12 x^3`

Opgave 7
a

`f'(x)=12/5x^2-6x`
Voer in: `y_1=4/5x^3-3x^2` en `y_2=12/5x^2-6x` .
(Je kunt ook de afgeleide laten maken door de GR zonder zelf te differentiëren.)
Gebruik standaard vensterinstellingen.

b

Bepaal de `x` waarden van de nulpunten van de hellingsgrafiek en bekijk daar de grafiek van `f` .

c

`f'(x)= 12/5 x^2 -6x=0` geeft `x=0 vv x=2,5` .
GR: min. `f(2,5 )=text(-)6,25` en max. `f(0 )=0` .

d

`f'(5 )=30`

e

`f''(x)=24/5x-6 =0` geeft `x=1,25` .
Lees uit de grafiek (of een tekenschema van `f''` ) af dat er één buigpunt is, namelijk `f(1,25)=text(-)3,125` .

Opgave 8
a

`y'(x)=3 x^2-10 x+7` geeft `y'(2 )=text(-)1` .

b

`y'(x)=text(-)1` geeft `3 x^2-10 x+8 =0` . Deze vergelijking heeft twee oplossingen. Hieruit volgt dat er nog een punt op de grafiek is waarin de hellingwaarde van de grafiek `text(-)1` is.

Opgave 9
a

Er is een top bij `x=3` , met in dit geval een maximum.

b

De vorm van een parabool, want de hellingsgrafiek is een dalende rechte lijn en daarbij hoort de formule `y=text(-)0,5x+1,5` .

Omdat `f'(x) = text(-)0,5x+1,5` moet `f` iets zijn als `f(x) = text(-)0,25x^2 + 1,5x + c` , waarbij je `c` (een constante) nog niet weet. En dat is een kwadratisch verband.

Opgave 10
a

`f(x)=x^3(x^2 -40x+400)=x^5-40 x^4+400 x^3` geeft `f'(x)=5 x^4-160 x^3+1200 x^2` .
`f(x)=0` levert op: `x=0 ∨x=12 ∨x=20` .

b

Voor `x=0` wisselt de afgeleide niet van teken, zowel links als rechts van `x=0` is de grafiek van `f` stijgend.

Opgave 11Bakje met maximale inhoud
Bakje met maximale inhoud
a

`I(x)=x(20 -2 x)(60 -2 x)=1200 x-160 x^2+4 x^3`

b

`I'(x)=12 x^2-320 x+1200 =0` oplossen geeft `x= (320 +-sqrt(44800)) /(24)` .
Uit de grafiek van `I` blijkt dat de inhoud maximaal is als `x= (320 -sqrt(44800)) /(24) ≈ 4,5` cm.

Opgave 12Goten voor bevloeien van akkers
Goten voor bevloeien van akkers
a

`x=40 -2 h` of `h=20 -0,5 x` met `x` en `h` in centimeter

b

`H(x)=200*x*h=200*x*(20-0,5x)=4000 x-100 x^2`

c

`H'(x)=4000 -200 x=0` geeft `x=20` .
GR: maximum voor `x=20` cm.

Opgave 13
a

`f'(x)=text(-)2 x^3+3`

b

`f'(x)=text(-)12 x-4 x^3`

c

`f'(x)=3 x^2-2 x-1`

d

`f'(x)=a-3 ax^2`

e

`H'(t)=12 pt^2`

f

`(text(d)y) / (text(d)t) =6000 t-300 t^2-80 t^3`

Opgave 14
a

`f(2 )=7`

b

`f'(2 )=19/3`

Opgave 15
a

Min. `f(0) = text(-)10` en max. `f(4) = 22` .

b

`(2 , 6 )`

verder | terug