Differentieerregels > Differentieerregels
123456Differentieerregels

Voorbeeld 3

De kosten voor de productie van een bepaalde stof worden weergegeven door:
`TK=10 q^3-60 q^2+130 q`
Daarin stellen `q` de productie in honderden kilogram per dag en `TK` de totale kosten in euro voor.
Bepaal bij welke productie de afgeleide van `TK` minimaal is.
Welke economische betekenis heeft het antwoord?

> antwoord

De afgeleide van `TK` is:
`(text(d)TK) / (text(d)q) =TK'(q) =30 q^2-120 q+130`

Een minimum van deze hellingsfunctie vind je door de afgeleide ervan te bekijken:

  • `TK''(q)=60 q-120 =0` als `q=2` .

  • `TK''` is negatief als `q < 2` en positief als `q>2` .

Bekijk je de grafiek van `TK` met `q` van `0` tot `6` , dan zie je dat de grafiek voortdurend stijgt. Maar de stijging is eerst afnemend (tot in de buurt van `q = 2` ) en daarna toenemend. Er is inderdaad een kleinste hellingsgetal.

`TK′` is minimaal als `q=2` , dat is bij een productie van `200` kg per dag.
Economisch gezien betekent dit dat bij een productie van `200` kg per dag de kostenstijging per extra kg stof het kleinst is.

Opgave 12

Voor de kosten van de productie van eenvoudige nietmachines heeft een bedrijf een wiskundig model laten opstellen. In dat model zijn de kosten `K` (euro) afhankelijk van het aantal geproduceerde nietmachines `q` (in honderdtallen) volgens de formule: `K=4 q^3-72 q^2+600 q+2000`

a

Hoeveel bedragen de vaste productiekosten? Waaruit zouden deze kosten kunnen bestaan?

b

De verandering van de kosten afhankelijk van `q` wordt bepaald door de afgeleide `(dK) / (dq)` . Stel een formule op voor deze afgeleide.

c

Er worden maandelijks maximaal 2000 van deze nietmachines geproduceerd. Breng de bijbehorende grafiek op de grafische rekenmachine in beeld. Bij welke vensterinstellingen komt het bijpassende deel van de grafiek van `K` geheel in beeld?

d

In welk punt van de grafiek van `K` gaan de kosten over van afnemend stijgend naar toenemend stijgend? Laat zien hoe je met behulp van differentiëren dit punt berekent.

Opgave 13

Een Nederlands bedrijf maakt goten voor bevloeiing van akkers in een ontwikkelingsland. De goten worden gemaakt door vlakke platen kunststof te buigen. De platen zijn `2` meter lang en `40` centimeter breed. Ze worden zo gebogen dat een goot ontstaat van `2` meter lang met als dwarsdoorsnede (in de breedterichting) een rechthoek.

a

Noem de breedte van de goot `x` en de hoogte `h` . Welke verband bestaat er tussen `x` en `h` ? Stel een formule voor dat verband op.

b

Je kunt nu een formule opstellen voor de hoeveelheid water die zo’n goot kan bevatten. Druk de hoeveelheid water `H` in uit in `x` .

c

Bereken bij welke waarde van `x` de hoeveelheid water maximaal is.

Opgave 14

Beantwoord de vragen.

a

Kun je met behulp van differentieerregels de afgeleide bepalen van `f(x)= (4x)^5` ? Zo ja, hoe?

b

Tegen welk probleem loop je aan als je `f(x)=(5 x-2 ) ^16` wilt differentiëren?

c

Waarom kun je `f(x)= (5x^2+2 x^3) /x` wel en `g(x)= (4 x-5 x^3) / (x+2)` niet differentiëren?

verder | terug