`s(x) = (x^2+10)(x^2+10) = x^4 + 20x^2 + 100`
`s'(x) = 4x^3 + 20*2x + 0 = 4x^3 + 40x`

Je ziet:

• `s(x) = f(g(x)) = (g(x))^2` met `f'(g(x)) = 2*(g(x))^1`

• `g(x) = x^2 + 10` met `g'(x) = 2x`

Dan is `s'(x) = f'(g(x)) = 2(g(x))^1*g'(x) = 2(x^2 + 10)*2x = 4x^3 + 40x` .

Nu is:

• `t(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 10`

• `f(x) = x^2`

`t(x) = (x^2)^2 + 10 = x^4 + 10` geeft `t'(x)=4x^3` .

De schakels zijn:

• `f(x) = g(f(x)) = (f(x))^2 + 10` met `g'(f(x)) = 2*(f(x))^1 + 0`

• `f(x) = x^2` met `f'(x) = 2x`

Dan is `t'(x) = g'(f(x)) = 2(f(x))^1 * f'(x) = 2x^2*2x = 4x^3` .

Uit `h(x) = 4x^2 + 2x` en `g(h(x)) = (h(x))^2` .

`f'(x) = 2 * (h(x))^1 * (8x + 2) = (16x + 4)(4x^2 + 2x)`

`f(x) = 16x^4 + 16x^3 + 4x^2`
`f'(x) = 64x^3 + 48x^2 + 8x`

`f'(x) = (16x + 4)(4x^2 + 2x) = 64x^3 + 48x^2 + 8x`

`f(x) = 2sqrt(x) = 2x^(1/2)`
`f'(x) = 2 * 1/2 x^(text(-)1/2) = 1/(sqrt(x))`

`f(x) = 1/(x^5) = x^(text(-)5)`
`f'(x) = text(-)5 * x^(text(-)6) = (text(-)5)/(x^6)`

`f(x) = 5/(x) = 5*x^(text(-)1)`
`f'(x) = text(-)5 * x^(text(-)2) = (text(-)5)/(x^2)`

`h(x) = sqrt(x^2 + 3)`

De schakels zijn:

• `f(g(x)) = (g(x))^(1/2)` met `f'(g(x)) = 1/2 (g(x))^(text(-)1/2)`

• `g(x) = x^2 + 3` met `g'(x) = 2x`

Dan is `h'(x) = 1/2 (g(x))^(text(-)1/2) * 2x = x * (x^2 + 3)^(text(-)1/2)` .

`k(x) = sqrt(x)^2 + 3 = x + 3` , met afgeleide `k'(x) = 1`

`f(g(x)) = (g(x))^8` en `g(x) = 2x^2 + 1` .

`f'(g(x)) = 8(g(x))^7` en `g'(x) = 4x` geeft `h'(x) = f'(g(x))*g'(x) = 8 (g(x))^7 * 4x = 8*(2x^2 + 1)^7 * 4x = 32x (2x^2 + 1)^7` .

`h(x) = (2x^3 + 4x)^4`

`h'(x) = 4*(g(x))^3 * g'(x) = 4*(2x^3 + 4x)^3 * (6x^2 + 4)`

`g(f(x)) = k(x) = 2(x^4)^3 + 4x^4` .
Hieruit volgt `k(x) = 2x^12 + 4x^4` .

`k'(x) = 24x^11 + 16x^3`

Als het goed is krijg je dezelfde afgeleiden als in het voorbeeld.

Omdat het een samengestelde functie is: `h(x) = 2/(2x+3) = 6*(2x+3)^(text(-)1) = 6*(j(x))^(text(-)1)` met `j(x) = 2x+3` .

`j(x) = 2x+3` geeft `j'(x) = 2` .

`h'(x) = 6*text(-)1 (j(x))^(text(-)1 - 1) * j'(x) = 6*text(-)1 (2x+3)^(text(-)2) * 2 = (12)/((2x+3)^2)`

`f(x) = 2x^(1/2)`
`f'(x) = 2*1/2 x^(text(-)1/2) = 1/(sqrt(x))`

`f(x) = x^(1 1/2)`
`f'(x) = 1 1/2 x^(1/2) = 1 1/2 sqrt(x)`

`f(x) = (4x)^(1/3)`
`f'(x) = 1/3 (4x)^(text(-)2/3) * 4 = 4/(3 root[3](16x^2))`

`f(x) = 3*(4 - x)^(text(-)1)`
`f'(x) = text(-)1*3*(4 - x)^(text(-)2) * text(-)1 = 3/((4 - x)^2)`

Nu moet `25 - x^2 ge 0` . En `25 - x^2 = 0` als `x = text(-)5 vv x = 5` .
`D_f = [text(-)5, 5]` en `B_f = [0, 5]` .
De grafiek komt niet tot op de `x` -as en dat zou wel moeten. Dit is een beperking van de grafische rekenmachine.

`f'(x) = 1/2 (25 - x^2)^(text(-)1/2) * text(-)2x = (text(-)x)/(sqrt(25 - x^2))`

`f'(3 ) = text(-) 3/4` en `f(3) = 4` .
De raaklijn is van de vorm `y = text(-)3/4 x + b` .
Gebruik dat de raaklijn door het punt `(3, 4)` gaat, zodat `4 = text(-)3/4*3 + b` . Dan geldt `b = 6 1/4` . Dit geeft voor de raaklijn `y = text(-)3/4 x + 6 1/4` .

`f'(x) = 4(x^2 - 100)^3 * 2x = 8x (x^2 - 100)^3`

`g'(x) = 0 + 3(1 - x)^2 * text(-)1 = text(-)3 (1 - x)^2`

`H'(t) = 3*25*(2 - 4t)^2 * text(-)4 = text(-)300 (2 - 4t)^2`

`f'(x) = text(-)6 (2x - 6)^2 < 0` voor elke waarde van `x` behalve `x = 3` .

`f'(x) = text(-)24` en `f(2) = 12` .
De raaklijn is van de vorm `y = text(-)24x + b` en gaat door `(2, 12)` .
Er geldt `12 = text(-)24*2 + b` en dit geeft `b = 60` .
`y = text(-)24x + 60 = 0` oplossen levert `x = 2 1/2` .
Het punt is `P(2 1/2, 0)` .

Hier moet `2 - x^2 ge 0` .
`2 - x^2 = 0` geeft `x = +-sqrt(2)` .
`text(D)_f = [text(-)sqrt(2), sqrt(2)]` .

`f(x) = sqrt(2 - x^2) = (2 - x^2)^(1/2)`
`f'(x) = 1/2*(2 - x^2)^(text(-)1/2) * text(-)2x = (text(-)x)/(sqrt(2 - x^2))`

`f'(x) = (text(-)x)/(sqrt(2 - x^2)) = 0` geeft `x = 0` .

Top `(0, sqrt(2))` .

`f'(text(-)1) = 1/1 = 1` en `f(text(-)1) = 1` .
De raaklijn heeft daarmee de vorm `y = x + b` en gaat door het punt `(text(-)1, 1)` .
`1 = text(-)1 + b` dus `b = 2` .
De raaklijn is `y = x + 2` .

`y = x^(7/3)`
`(text(d)y)/(text(d)x) = 7/3 x^(4/3) = 7/3 root[3](x^4)`

`f(x) = x^(text(-)3) + 4x^(text(-)2) - 3x^(text(-)1) + 1`
`f'(x) = text(-)3x^(text(-)4) - 8x^(text(-)3) + 3x^(text(-)2) = text(-)3/(x^4) - 8/(x^3) + 3/(x^2)`

`H'(p) = 3(1 - sqrt(p))^2 * text(-)1/2 * p^(text(-)1/2) = text(-)3/(2 sqrt(p)) * (1 - sqrt(p))^2`

`g(x) = 2x - 5(1 - x)^(text(-)1)`
`g'(x) = 2 - 1*text(-)5(1 - x)^(text(-)2)*text(-)1 = 2 - 5/((1 - x)^2)`

Hier moet `8-x^2 ge 0` , dus `text(D)_f = [text(-)sqrt(8), sqrt(8)]` .

Het minimum ligt op de rand van het domein: min. `f(text(-)sqrt(8)) = text(-)sqrt(8)` .
Bepaal het maximum met behulp van differentiëren.
`f'(x) = 1 + 1/2*(8 - x^2)^(text(-)1/2)*text(-)2x = 1 - x/(sqrt(8 - x^2)) = 0` geeft `sqrt(8 - x^2) = x` en `8 - x^2 = x^2` .

Dit levert op `2x^2 = 8` en `x^2 = 4` zodat `x = +-2` .

Hieruit volgt: max. `f(2) = 4` . Het bereik wordt `text(B)_f = [text(-)sqrt(8), 4]` .

`A = (text(-)sqrt(8), text(-)sqrt(8))` en `B = (sqrt(8), sqrt(8))` .
De helling van lijn `AB` is gelijk aan `1` .
Los daarom op: `f'(x) = 1` .
Los exact op: `1 - x/(sqrt(8 - x^2)) = 1` .
Dit levert op `x = 0` .

`600 * 30 + 500 * 70 = 53000`
De kosten bedragen € 53000.

`sqrt(600^2 + 500^2)*70 ≈ 54671,75`
De kosten bedragen ongeveer € 54671,75.

Lengte `|AD|` wordt dan `600 - x` meter. De kosten om de waterleiding langs `|AD|` aan te leggen zijn `30*(600 - x)` .
Lengte `|CD|` is met behulp van de stelling van Pythagoras gelijk aan `sqrt(500^2 + x^2)` . De kosten om waterleiding langs `|CD|` aan te leggen bedragen `70*sqrt(500^2 + x^2)` .
De kostenfunctie `K(x)` voor de aanleg van de waterleiding is: `K(x) = 30 (600 - x) + 70 sqrt(500^2 + x^2)` .

`K'(x) = 30*text(-)1 + 70*1/2*(500^2 + x^2)^(text(-)1/2)*2x = text(-)30 + (70x)/(sqrt(500^2 + x^2)) = 0` geeft
`sqrt(500^2 + x^2) = 7/3 x` en `25000 = 40/9 x^2` zodat `x ~~ 237` m.

Je kunt het beste eerst `600 - 237 = 363` m langs de straat graven en daarna door het veld recht naar `C` graven. De afstand `CD` is dan `sqrt(237^2 + 500^2) ~~ 553` m. De minimale kosten zijn ongeveer `30*363 + 70*535 = 49600` euro.

`f'(x) = 36x (1 + x^2)^2`

`y'(x) = text(-)16 (1 - 4x)^3`

`R'(t) = 7,5/(π sqrt(15/π t))`

`f'(x) = (4x)/(sqrt(10 + 4x^2))`

`K'(p) = text(-)3/(p^2 sqrt(p))`

`f'(x) = 3x^2 + 2 + 3/(2x sqrt(x)) - 2/(x^3)`

`text(D)_f = [text(-)2 , →〉`

`f'(x) = 2 - 1/(2 sqrt(x+2))`

Min. `f(text(-)2 1/16) = text(-)4 1/8` .

`text(B)_f = [text(-)4 1/8, →〉`

`f'(0) ~~ 1,65`